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2020全国高考_87届,普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案

时间:2020-09-29 18:06:45 浏览次数:

1987年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 一.(本题满分24分)本题共有8个小题,每小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内选对的得3分,不选、选错或者选出的代号超过一个的(不论是否都写在圆括号内),一律得0分 (1)设S,T是两个非空集合,且S T,T S,令X=ST,那么SX等于 ( D ) (A)X (B)T (C) (D)S (2)设椭圆方程为,令,那么它的准线方程为 ( C ) (A) (B) (C) (D) (3)设a,b是满足ab<0的实数,那么 ( B ) (A)|a+b|>|a-b| (B)|a+b|<|a-b| (C)|a-b|<||a|-|b|| (D)|a-b|<|a|+|b| (4)已知E,F,G,H为空间中的四个点,设 命题甲:点E,F,G,H不共面, 命题乙:直线EF和GH不相交 那么 ( A ) (A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件 (B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件 (C)甲是乙的充要条件 (D)甲不是乙的充分条件,也不是乙必要条件 (5)在区间上为增函数的是 ( B ) (A) (B) (C) (D) (6)要得到函数的图象,只需将函数的图象(图略) ( D ) (A)向左平行移动 (B)向右平行移动 (C)向左平行移动 (D)向右平行移动 (7)极坐标方程所表示的曲线是 ( B ) (A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D)抛物线 (8)函数的图象是 ( A ) (A) (B) Y (C) Y (D) Y 1 Y 1 O - O - O - O -1 二.(本题满分28分)本题共7小题,每一个小题满分4分只要求写出结果 (1)求函数的周期 [答] (2)已知方程表示双曲线,求λ的范围 [答]λ>-1或λ<-2.(注:写出一半给2分) (3)若(1+x)n的展开式中,x3的系数等于x的系数的7倍,求n. [答]8 (注:若给出8同时给出-5得2分) (4)求极限 [答]2 (5)在抛物线上求一点,使该点到直线的距离为最短 [答] (6)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数求这种五位数的个数 [答]72 (7)一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm,而侧面积等于两底面积之差,求斜高 [答] 三.(本题满分10分) 求的值 解:原式= (注:本题有多种解答) 四.(本题满分12分) P E C A D B 如图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h求证三棱锥P-ABC的体积V=L2h. 证:连结AD和PD∵BC⊥PA,BC⊥ED, PA与ED相交,∴BC⊥平面PAD ∵ED⊥PA, ∴S△ABC=PA·ED=Lh VB-PAD=(Lh)·BD=Lh·BD 同理,VC-PAD=Lh·CD ∴三棱锥P-ABC的体积 V=Lh·BD+Lh·CD=Lh(BD+CD)=Lh·BC=L2h. 若E,D不是分别在线段AP,BC上,结论仍成立 (此话不说,也不扣分) 五.(本题满分12分) 设对所有实数x,不等式恒成立,求a的取值范围 解:由题意得:
令则(3)式变为 化简为解得 (4) (2)式变为即 (5) 综合(4),(5)得 由此, (6)解(1),(6)得a取值范围:
六.(本题满分12分,共2个小题) 设复数满足关系式其中A为不等于0的复数证明:
(1)(2) 证:(1) (2) 七.(本题满分12分,共3个小题) 设数列的前n项的和Sn与的关系是 其中b是与n无关的常数,且b≠-1 (1)求的关系式; (2)写出用n和b表示的表达式; (3)当时,求极限. 注:(2)也可用数学归纳法证明 所以当 八.(本题满分10分) 定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标 解:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB长度为3, 那么x1=y12,x2=y22,(1) 32=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(y22-y12)2+(y2-y1)2=(y2-y1)2[(y2+y1)2+1](2) 线段AB的中点M(x,y)到y轴的距离为 下证x能达到最小值,根据题意不妨设y1>y2 ,由(3)得 九.(附加题,本题满分10分,共2个小题,每小题5分,不计 入总分) (1)求极限 (2)设 解: