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「衡水内部」八年级数学上册知识点+习题+答案,(1)

时间:2021-04-28 10:01:45 浏览次数:

(一)三角形部分 一、知识点汇总 1. 三角形的定义定义:不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边,相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称角,相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示. 注意:(1)三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接;
(2)三角形是一个封闭的图形;

(3)△ABC是三角形ABC的符号标记,单独的△没有意义. 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 2、(1)三角形按边分类:
三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 (2)三角形按角分类:
3、三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。

注意:
(1)三边关系的依据是:两点之间线段最短;

(2)围成三角形的条件是:任意两边之和大于第三边. 4、和三角形有关的线段:
(1)三角形的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段 表示法:1、AD是△ABC的BC上的中线. 2、BD=DC=0.5BC. 3、AD是DABC的中线;

注意:①三角形的中线是线段;
②三角形三条中线全在三角形的内部;

③三角形三条中线交于三角形内部一点;

④中线把三角形分成两个面积相等的三角形. (2)三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角与交点之间的线段。

表示法:1、AD是△ABC的∠BAC的平分线.2、∠1=∠2=0.5∠BAC. 3、AD平分ÐBAC,交BC于D 注意:①三角形的角平分线是线段;
②三角形三条角平分线全在三角形的内部;

③三角形三条角平分线交于三角形内部一点;

(3)三角形的高 三角形的高:从三角形的一顶点向它的对边作垂线, 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高, 表示法:1、AD是△ABC的BC上的高。

2、AD⊥BC于D。

3、∠ADB=∠ADC=90°。

4、AD是△ABC的高。

注意:①三角形的高是线段:高与垂线不同,高是线段,垂线是直线。

②锐角三角形三条高全在三角形的内部,直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两条高在三角形外;

③三角形三条高所在直线交于一点.(而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部,直角三角形三条高的交战在角直角顶点,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。)
4、三角形的内角和定理 定理:三角形的内角和等于180°. 推论:直角三角形的两个锐角互余。

5、三角形内角外角的关系:
(1)三角形三个内角的和等于180°; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 6、三角形的外角的定义:
三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角. 注意:每个顶点处都有两个外角,但这两个外角是对顶角. 如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角,且∠ACD=∠BCE, 所以说一个三角形有六个外角,但我们每个一个顶点处只选一个外角,这样三角形的外角就只有三个了. 7. 三角形外角的性质 (1)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和. (2)三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角. 注意:(1)它不相邻的内角不容忽视;

(2)作CM∥AB由于B、C、D共线 ∴∠A=∠1,∠B=∠2. 即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B. 那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B。

8、(1)多边形的定义:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

多边形内角和公式:n边形的内角和等于(n-2)·180° 多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

多边形的外角和:多边形的内角和为360°。

多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。

多边形对角线的条数:
(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,把多边形分词(n-2)个三角形。

(2)n边形共有条对角线。

(2)正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。

平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边形覆盖平面。

9、.三角形的稳定性:
三角形的三边长确定,则三角形的形状就唯一确定,这叫做三角形的稳定性. 注意:(1)三角形具有稳定性;
(2)四边形没有稳定性。(3)多边形没有稳定性。

二、题型解析 1. 三角形内角和定理的应用 例1. 如图已知中,于D,E是AD上一点。

求证:
证明:由AD⊥BC于D,可得∠CAD=∠ABC 又 则 可证 即 说明:在角度不定的情况下比较两角大小,如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。

例2. 锐角三角形ABC中,∠C=2∠B,则∠B的范围是( )
A. B. C. D. 分析:
因为为锐角三角形,所以 又∠C=2∠B, 又∵∠A为锐角,为锐角 ,即 .故选C。

例3.已知三角形的一个外角等于160°,另两个外角的比为2:3,则这个三角形的形状是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 分析:由于三角形的外角和等于360°,其中一个角已知,另两个角的比也知道,因此三个外角的度数就可以求出,进而可求出三个内角的度数,从而可判断三角形的形状。

解:∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x,3x ∴2x+3x=200解得:x=40,2x=80,3x=120 与80°相邻的内角为100° ∴这个三角形为钝角三角形 应选C 2. 三角形三边关系的应用 例4. 已知:如图在中,,AM是BC边的中线。

求证:
证明:延长AM到D,使MD=AM,连接BD 在和中, 在中,,而 说明:在分析此问题时,首先将求证式变形,得,然后通过倍长中线的方法,相当于将绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形,把AC、AB、2AM转化到同一三角形中,利用三角形三边不等关系,达到解决问题的目的。很自然有。请同学们自己试着证明。

3. 角平分线定理的应用 例5. 如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC。

求证:AM平分DAB。

证明:过M作MG⊥AD于G,∵DM平分∠ADC,MC⊥DC,MG⊥AD ∴MC=MG(在角的平分线上的点到角的两边距离相等)
∵MC=MB,∴MG=MB 而MG⊥AD,MB⊥AB∴M在∠ADC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上)
∴DM平分∠ADC 说明:本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG=MB。同时要注意不必证明三角形全等,否则就是重复判定定理的证明过程。

4. 全等三角形的应用 例6. 如图,已知:点C是∠FAE的平分线AC上一点,CE⊥AE,CF⊥AF,E、F为垂足。点B在AE的延长线上,点D在AF上。若AB=21,AD=9,BC=DC=10。求AC的长。

分析:要求AC的长,需在直角三角形ACE中知AE、CE的长,而AE、CE均不是已知长度的线段,这时需要通过证全等三角形,利用其性质,创设条件证出线段相等,进而求出AE、CE的长,使问题得以解决。

解:∵AC平分∠FAE,CF⊥AF,CE⊥AE ∴CF=CE ∴BE=DF 设,则 在中, 在中, 答:AC的长为17。

分析:初看此题,看到DE=DF+FE后,就想把DF和FE的长逐个求出后再相加得DE,但由于DF与FE的长都无法求出,于是就不知怎么办了?其实,若能注意到已知条件中的“BD+CE=9”,就应想一想,DF+FE是否与BD+CE相关?是否可以整体求出?若能想到这一点,就不难整体求出DF+FE也就是DE的长了。

解:∵BF是∠B的平分线 ∴∠DBF=∠CBF 又DE∥BC ∴∠DFB=∠CBF ∴∠BDF=∠DFB ∴DF=BD 同理,FE=CE ∴DF+FE=BD+CE=9 即DE=9 故选A 例7. 已知:如图,中,AB=AC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE垂直BD的延长线于E,。

求证:BD平分∠ABC 分析:要证∠ABD=∠CBD,可通过三角形全等来证明,但图中不存在可证全等的三角形,需设法进行构造。注意到已知条件的特点,采用补形构造全等的方法来解决。

简证:延长AE交BC的延长线于F 易证(ASA或AAS)
于是又不难证得 ∴BD平分∠BAC 说明:通过补形构造全等,沟通了已知和未知,打开了解决问题的通道。

练习题:
1. 填空:等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm,则这个等腰三角形底边的长为____________。

2. 在锐角中,高AD和BE交于H点,且BH=AC,则∠ABC=__________。

3. 如图所示,D是的∠ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。试比较∠BAC与∠B的大小关系。

4、求证:直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。

5. 如图所示,AB=AC,∠BAC=90°,M是AC中点,AE⊥BM。

求证:∠AMB=∠CMD 【练习题答案】 1. 5cm 2. 45° 3. 分析:如图所示,∠BAC是的外角,所以 因为∠1=∠2,所以∠BAC>∠2 又因为∠2是的外角,所以∠2>∠B,问题得证。

答:∠BAC>∠B∵∠CD平分∠ACE,∴∠1=∠2 ∵∠BAC>∠1,∴∠BAC>∠2 ∵∠2>∠B,∴∠BAC>∠B 4,证明:省略 5. 证明一:过点C作CF⊥AC交AD的延长线于F 又∠BAC=∠ACF=90° AC=AB 证明二:过点A作AN平分∠BAC交BM于N 又AN平分∠BAC 又AB=AC 又 AM=CM 说明:若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中,可以把求证的角或线段用和它相等的量代换。若没有相等的量代换,可设法作辅助线构造全等三角形。

(二)一元一次不等式 一、知识点汇总 考点1、一元一次不等式的定义及其解法 1. 一元一次不等式的定义:含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式。

2. 解一元一次不等式的步骤:(1)去分母(根据不等式性质2或3)
(2)
去括号(根据整式运算法则)
(3)
移项(根据不等式性质1)
(4)
合并同类项(根据合并同类项法则)
(5)
系数化为1(根据不等式性质2或3)
提示:1.不等式的解集一般是一个取值范围,但有时候需要求不等式的某些特殊解,如整数解,非负整数解,最大整数解等,解答这些问题的关键是明确解的特征 2. 解不等式中的移项与解方程中的移项相同,要注意改变所移项的符号,但不等号方向不变;

3. 系数化为1时,特别注意不等号方向是否需要改变;

4. 解不等式时,有些步骤可能用不到,根据不等式的形式灵活选择解题步骤。

考点2、一元一次不等式的应用 步骤:审:审题,分析题中已知什么,求什么;

设:设出适当的未知数;

找:找出题中的不等关系,抓住题中的关键词,如“大于”“小于”“不大于”“至多”“至少”“不超过”等;

解:解出所列的不等式;

答:检验所得结果是否符合问题的实际意义,写出答案。

提示:1.审题是解决问题的基础,根据不等式关系列出不等式是解题关键;

2.在设未知数时,不可出现“至少”“至多”“不超过”等范围的字眼,因为未知数就是一个分界点,不是范围。

二、习题分析 例1.下列不等式中,是一元一次不等式的是    (     )  A ;

B ;

C ;

D > 例2.下列各式中,是一元一次不等式的是( )
A.5+4>8  B.2x-1  C.2x≤5  D.-3x≥0 例3.解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来。

例4.某城市平均每天产生垃圾700吨,由甲,乙两个垃圾处理厂处理,已知甲厂每小时处理垃圾55吨,需费用550元,乙厂每小时可处理垃圾45吨,需费用495元。

(1)甲、乙两厂同时处理该城市的垃圾,每天需要几小时完成? (2)如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元,则甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时? 例5、求不等式的正整数解。

例题答案:
1、解:
一元一次不等式必须是含有一个未知数,未知数的次数是1。B是不等式,C是二元的,D的未知数次数是2.故选 A。

2、解:
,A选项没有未知数,B选项不是不等式,C选项正确,D选项不等式的左边不是整式,是分式,未知数的次数不是1。故选C。

3、解:去分母,得4(2-x)-(3x-5) 去括号,得8-4x-3x+5 移项,得-4x+3x5-8 合并同类项,得-x-3 不等式的解集在数轴上表示为:略 4、解:(1)700 答:两厂同时处理,每天需要7小时。

(2)设甲厂每天处理垃圾x吨,则乙厂每天处理垃圾(700-x)吨,根据题意,得 解得:
答:甲厂每天处理垃圾至少需要6小时。

注:设未知数时要将“最多”“不少于”等这些不确定的词语去掉,求出的不等式的解集就是应用题的解,应用题的要根据实际情况取舍。

5、解:去分母,得84-x-10(x+4)去括号,得 移项,得合并同类项,得 系数化为1,得, 不大于4的正整数有1,2,3,4,所以,不等式的正整数解为1,2,3,4. 【解析】求不等式的特殊解时,需先求出不等式的解集,再在解集中找出符合条件的特殊解。

三、练习题:
1、在数轴上从左至右的三个数为a,1+a,-a,则a的取值范围是( )
A、a< B、a<0 C、a>0 D、a<- 2、不等式组的解集在数轴上表示为( )
A B C D 3、在平面直角坐标系内,P(2x-6,x-5)在第四象限,则x的取值范围为( )
A、3<x<5 B、-3<x<5 C、-5<x<3 D、-5<x<-3 4、已知不等式:①,②,③,④,从这四个不等式中取两个,构成正整数解是2的不等式组是( )
A、①与② B、②与③ C、③与④ D、①与④ 5、方程组的解x、y满足x>y,则m的取值范围是( )
A. B. C. D. 6、不等式组的解集是 . 7、不等式组的解集是 . 8、若不等式组无解,则m的取值范围是 . 9、若不等式组的解集为-1<x<1,那么(a+1)(b-1)的值等于________. 10、若不等式组无解,则a的取值范围是_______________. 11、解不等式组把解集表示在数轴上,并求出不等式组的整数解. 12、求同时满足不等式6x-2≥3x-4和的整数x的值. 13、若关于x、y的二元一次方程组中,x的值为负数,y的值为正数,求m的取值范围. 14、一人10点10分离家去赶11点整的火车,已知他家离车站10千米,他离家后先以3千米/小时的速度走了5分钟,然后乘公共汽车去车站,问公共汽车每小时至少走多少千米才能不误当次火车? 练习题答案:
1、D 2、C 3、A 4、D 5、D 6、-1≤x<3 7、-≤x≤4 8、m>2 9、-6 10、a≤1 11、2,1,0,-1 12、不等式组的解集是,所以整数x为0 13、-2<m<0.5 14、解:设公共汽车每小时至少走x千米才能不误当次火车 答:公共汽车每小时至少走13千米才能不误当次火车。

(三)图形与坐标 一、知识点汇总 1、确定平面上物体位置的方法:坐标法、方位与距离法、经纬度法 2、根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标 3、在同一直角坐标系中,感受图形变换后点的坐标的变化 4、平面上物体的位置可以用有序实数对来确定。

5、在平面内确定物体的位置一般需要几个数据?有哪些方法? (1)用有序数对来确定; (2)用方向和距离(方位)来确定; 6、在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴,就构成了平面直角坐标系。简称直角坐标系,坐标系所在的平面就叫做坐标平面 7、掌握各象限上及x轴,y轴上点的坐标的 特点:
第一象限(+,+);
第二象限(-,+);
第三象限(-,-);
第四象限(+,-)
8、x轴上的点纵坐标为0,表示为(x,0);
y轴上的点横坐标为0,表示为(0,y)
9、(1)关于x轴对称的两点:横坐标相同,纵坐标互为相反数。

图1 (2)关于y轴对称的两点:纵坐标相同,横坐标互为相反数。

(3)关于原点对称的两点:横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数。

二、例题分析 1. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 例1:如图1,在平面直角坐标系中,点E的坐标是   (   )
-3 -2 -1 3 2 1 O -1 -2 1 2 3 x y 图2 A.(1, 2) B.(2, 1) C.(-1, 2) D.(1,-2) 2. 图形在坐标平面内变换后点的坐标 例2: 如图2,在直角坐标系中,右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(-4,2)、(-2,2),右图中左眼的坐标是(3,4),则右图案中右眼的坐标是 . 图4 例3:已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示,如果△A'B'C' 与△ABC 关于y轴对称,那么点A的对应点A'的坐标为( ). A.(-4,2) B.(-4,-2) C.(4,-2) D.(4,2) 例题答案:
1、分析:过点E向x轴画垂线,垂足在x轴上对应的实数是1,因此点E的横坐标为1;同理,过点E向y轴画垂线,点E的纵坐标为2,所以点E的坐标为(1,2),选A. 2、解析:在图2中,平移前左眼的坐标是(-4,2),平移后左眼的坐标是(3,4),它的横坐标增加了7,纵坐标增加了2.根据这个规律和平移的特征,平移后右眼的坐标是(5,4). 3、解析:关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标相反.在图4中,A点的坐标是(-4,2),则A点关于y轴对称的对应点的坐标为(4,2),故选D. 点评:在平面直角坐标系中,求图形经过几何变换后点的坐标,应先准确作图,然后求坐标. 三、练习题 1、在平面直角坐标系中,点P(-3,2)所在象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2、平面直角坐标系中,与点(2,-3)关于原点中心对称的点是( )
(A)(-3,2)
(B)(3,-2)
(C)(-2,3)
(D)(2,3)
3、若点P(,﹣2)在第四象限,则的取值范围是( )
A、﹣2<<0 B、0<<2 C、>2 D、<0 4、在平面直角坐标系中,▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是(0,0)、(3,0)、(4.2),则顶点D的坐标为( )
A. (7,2) B. (5, 4) C. (1,2) D. (2,1) 5、以平行四边形ABCD的顶点A为原点,直线AD为x轴建立直角坐标系,已知B、D点的坐标分别为(1,3),(4,0),把平行四边形向上平移2个单位,那么C点平移后相应的点的坐标是( )
A、(3,3)
B、(5,3)
C、(3,5)
D、(5,5)
第6题图 6、如图,若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点” 的横坐标保持不变,纵坐标分别变为原来的,则 点A的对应点的坐标是( )
A.(-4,3) B.(4,3) C.(-2,6) D.(-2,3) 7. 已知点A(a-1,a+1)在x轴上,则a等于______. 8.点与都在第二、四象限两条坐标轴的夹角的平分线上,则a= ,b= . 9. 已知点M(3,2)与点N(x,y)在同一条垂直与x轴的直线上,且N点到x轴的距离为5,那么点N的坐标是 。

第10题图 10. 如图,在平面直角坐标系中,将△ABC绕点P旋转180°,得到△DEF,请写出P点的坐标 。

三、解答题 11、△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. (1)作出△ABC关于轴对称的△,并写出点的坐标;

(2)作出将△ABC 绕点O顺时针旋转180°后的△. 12、 如图,菱形ABCD的中心在直角坐标系的原点,一条边AD与x轴平行,已知点A、D的坐标分别是(-4,3)、(,3),求B、C的坐标. 13、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的对角线AC平行于x轴,边OA与x轴正半轴的夹角为30°,OC=2,求点B的坐标 答案:
一、 选择题 1、 B 2、C 3、B 4、 C 5、D 6、A 二、 填空题 7、-1 8、-2;
3 9、(3,5)或 (3,-5) 10、(-1,-1) 三、解答题 11、【答案】(1)作图如图示,的坐标为(-2,-3). (2)如图示. 12、 B(-,-3)
C(4,-3)
13.解:过点B作DE⊥OE于E, ∵矩形OABC的对角线AC平行于x轴,边OA与x轴正半轴的夹角为30°, ∴∠CAO=30°,∴AC=4,∴OB=AC=4,∴OE=2,∴BE=2, ∴则点B的坐标是(2,), (四)一次函数 一、知识点汇总 1、一次函数的定义 一般地,形如(,是常数,且)的函数,叫做一次函数,其中x是自变量。当时,一次函数,又叫做正比例函数。

⑴一次函数的解析式的形式是,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式. ⑵当,时,仍是一次函数. ⑶当,时,它不是一次函数. ⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数. 2、正比例函数及性质 一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数. 注:正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零 当k>0时,直线y=kx经过三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;
当k<0时,直线y=kx经过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小. (1) 解析式:y=kx(k是常数,k≠0)
(2) 必过点:(0,0)、(1,k)
(3) 走向:k>0时,图像经过一、三象限;
k<0时,图像经过二、四象限 (4) 增减性:k>0,y随x的增大而增大;
k<0,y随x增大而减小 (5) 倾斜度:|k|越大,越接近y轴;
|k|越小,越接近x轴 3、一次函数及性质 一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注:一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零):
① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数 一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-,0)两点的一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时,向上平移;
当b<0时,向下平移)
(1)解析式:y=kx+b(k、b是常数,k0) (2)必过点:(0,b)和(-,0)
(3)走向:
k>0,图象经过第一、三象限;
k<0,图象经过第二、四象限 b>0,图象经过第一、二象限;
b<0,图象经过第三、四象限 直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限 直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限 (4)增减性:
k>0,y随x的增大而增大;
k<0,y随x增大而减小. (5)倾斜度:|k|越大,图象越接近于y轴;
|k|越小,图象越接近于x轴. (6)图像的平移:
当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位;

当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位. 一次 函数 , 符号 图象 性质 随的增大而增大 随的增大而减小 4、一次函数y=kx+b的图象的画法.   b>0 b<0 b=0 k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升,y随x的增大而增大 k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 图象从左到右下降,y随x的增大而减小 根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下:是先选取它与两坐标轴的交点:(0,b),.即横坐标或纵坐标为0的点. 5、正比例函数与一次函数之间的关系及性质 一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;
当b<0时,向下平移)
正比例函数 一次函数 概 念 一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数 一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.当b=0时,是y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 自变量 范 围 X为全体实数 图 象 一条直线 必过点 (0,0)、(1,k)
(0,b)和(-,0)
走 向 k>0时,直线经过一、三象限;

k<0时,直线经过二、四象限 k>0,b>0,直线经过第一、二、三象限 k>0,b<0直线经过第一、三、四象限 k<0,b>0直线经过第一、二、四象限 k<0,b<0直线经过第二、三、四象限 增减性 k>0,y随x的增大而增大;
(从左向右上升)
k<0,y随x的增大而减小。(从左向右下降)
倾斜度 |k|越大,越接近y轴;
|k|越小,越接近x轴 图像的 平 移 b>0时,将直线y=kx的图象向上平移个单位;

b<0时,将直线y=kx的图象向下平移个单位. 6、直线()与()的位置关系 (1)两直线平行且 (2)两直线相交 (3)两直线重合且 (4)两直线垂直 7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤:
  (1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;

  (2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程;

  (3)解方程得出未知系数的值;

  (4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 二、练习题:
1.当-1≤x≤2时,函数y=ax+6满足y<10,则常数a的取值范围是( )
(A)-4<a<0 (B)0<a<2 (C)-4<a<2且a≠0 (D)-4<a<2 2.在直角坐标系中,已知A(1,1),在x轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P共有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 3.在直角坐标系中,横坐标都是整数的点称为整点,设k为整数.当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时,k的值可以取( )
(A)2个 (B)4个 (C)6个 (D)8个 4.若k、b是一元二次方程x2+px-│q│=0的两个实根(kb≠0),在一次函数y=kx+b中,y随x的增大而减小,则一次函数的图像一定经过( )
(A)第1、2、4象限 (B)第1、2、3象限 (C)第2、3、4象限(D)第1、3、4象限 5.过点P(8,2)且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为_________. 6.y=x与y=-2x+3的图像的交点在第_________象限. 7.若一次函数y=kx+b,当-3≤x≤1时,对应的y值为1≤y≤9,则一次函数的解析式为________. 8.设直线kx+(k+1)y-1=0(为正整数)与两坐标所围成的图形的面积为Sk(k=1,2,3,……,2008),那么S1+S2+…+S2008=_______. 9.小明同学骑自行车去郊外春游,下图表示他离家的距离y(千米)与所用的时间x(小时)之间关系的函数图象. (1)根据图象回答:小明到达离家最远的地方需几小时?此时离家多远? (2)求小明出发两个半小时离家多远? (3)求小明出发多长时间距家12千米? 10.已知一次函数的图象,交x轴于A(-6,0),交正比例函数的图象于点B,且点B在第三象限,它的横坐标为-2,△AOB的面积为6平方单位,求正比例函数和一次函数的解析式. 11.某租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地收割小麦,其中30台派往A地,20台派往B地.两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下:
甲型收割机的租金 乙型收割机的租金 A地 1800元/台 1600元/台 B地 1600元/台 1200元/台 (1)设派往A地x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元),请用x表示y,并注明x的范围. (2)若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元,说明有多少种分派方案,并将各种方案写出. 答案:
1.D 2.D 3.B 4.A 提示:依题意,△=p2+4│q│>0, k·b<0, 一次函数y=kx+b中,y随x的增大而减小一次函数的图像一定经过一、二、四象限,选A. 5.y=x-6.提示:设所求一次函数的解析式为y=kx+b.∵直线y=kx+b与y=x+1平行,∴k=1, ∴y=x+b.将P(8,2)代入,得2=8+b,b=-6,∴所求解析式为y=x-6. 6.解方程组 ∴两函数的交点坐标为(,),在第一象限. 7.y=2x+7或y=-2x+3 8. 9.(1)由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时;
此时,他离家30千米. (2)设直线CD的解析式为y=k1x+b1,由C(2,15)、D(3,30),代入得:y=15x-15,(2≤x≤3).当x=2.5时,y=22.5(千米)
答:出发两个半小时,小明离家22.5千米. (3)设过E、F两点的直线解析式为y=k2x+b2,由E(4,30),F(6,0),代入得y=-15x+90,(4≤x≤6)
过A、B两点的直线解析式为y=k3x, ∵B(1,15),∴y=15x.(0≤x≤1),分别令y=12,得x=(小时),x=(小时). 答:小明出发小时或小时距家12千米. 10.设正比例函数y=kx,一次函数y=ax+b, ∵点B在第三象限,横坐标为-2, 设B(-2,yB),其中yB<0, ∵S△AOB=6,∴AO·│yB│=6, ∴yB=-2,把点B(-2,-2)代入正比例函数y=kx,得k=1. 把点A(-6,0)、B(-2,-2)代入y=ax+b,得 ∴y=x,y=-x-3即所求. 11.(1)y=200x+74000,10≤x≤30 (2)三种方案,依次为x=28,29,30的情况.