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沪科版数学七年级下册全册教案(2021年春修订)

时间:2021-04-29 10:14:40 浏览次数:

沪科版数学七年级下册 全册教案设计 2021-1-24 第6章 实数 6.1平方根、立方根 1.平方根 【知识与技能】 1.掌握平方根、算术平方根的概念,明确平方根和算术平方根之间的联系和区别;

2.能用符号表示一个数的平方根和算术平方根,理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系.会求一个非负数的平方根和算术平方根. 3.理解并运用a的双重非负性. 【过程与方法】 通过观察、理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系,掌握求一个非负数的平方根和算术平方根的方法,培养学生的观察、演绎能力. 【情感态度】 有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中,培养学生的观察、归纳能力,通过合作学习体验成功的喜悦,激发学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 能用符号正确表示一个数的平方根和算术平方根,理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系,会求一个非负数的平方根和算术平方根. 【教学难点】 理解并运用a的双重非负数. 一、情境导入,初步认识 问题 装修房屋,选用了某种型号的正方形地砖,这种地砖4块正好铺1m2,如图(单位:m),问这种地砖的一块的边长是多少? 【教学说明】 教师提出问题后,让学生独立思考,然后让学生相互交流.学生很容易设出未知数,列出方程,感受平方根,算术平方根是实际的需要,激发学生探求新知识的欲望. 二、思考探究,获取新知 1.平方根的定义. 问:已知一个数的平方,怎样求这个数呢? 【教学说明】教师提出问题,同学生一起分析,引出平方根的定义. 【归纳结论】一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做二次方根. 2.平方根的性质. 问:(1)16的平方根是什么? (2)0的平方根是什么? (3)-9有没有平方根? 【教学说明】教师提出问题,学生独立完成再和同伴进行交流,归纳平方根的性质. 【归纳结论】一个正数a的平方根有两个,它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根. 正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根,记为 ,其中a叫做被开方数,另一个负的平方根记为-,0的算术平方根是0. 求一个数的平方根的运算叫做开平方.开方是平方的逆运算.根据这种关系,可以求出一些数的平方根. 三、典例精析,掌握新知 例1 判断下列各数是否有平方根,为什么? 25; ; 0.0169; -64. 【解】∵正数和零有平方根,负数没有平方根.∴25, ,0.0169有平方根;
-64没有平方根. 例2求下列各数的平方根和算术平方根. (1)1;(2)81;(3)64;(4)(-3)2. 【解】(1)∵(±1)2=1,∴1的平方根是±1,即±=±1;1的算术平方根是1. (2)∵(±9)2=81.∴81的平方根是±9,即±=±9;81的算术平方根是9. (3)∵(±8)2=64,∴64的平方根是±8,即±=±8;64的算术平方根是8. (4)∵(-3)2=9,9的平方根是±3,∴(-3)2的平方根是±3,即±=±3;(-3)2的算术平方根是3. 【教学说明】让学生自主完成,掌握求一个数的平方根和算术平方根的方法. 【归纳结论】对于一些平方数,我们可以根据开平方与平方的互逆关系,求出这些数的平方根和算术平方根. 例3 利用计算器求下列各式的值(精确到0.01): (1) ; (2) ; (3) -; (4) . 【解】(1) ≈1.41 (2) ≈42.78 (3) -≈-0.94 (4) ≈0.85 例4 跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作,如果不考虑空气阻力等其他因素影响,弹跳到最高点后,人体下落到水面所需要的时间t与下落的高度h之间应遵循下面的公式:h=gt2.其中h的单位是m,t的单位是s,g=9.8m/s2.假设跳板的高度是3m,运动员在跳板上起跳至高出跳板1.2m处开始下落,那么运动员下落到水面约需多长时间? 【解】设运动员下落到水面约需ts,根据题意,得3+1.2=×9.8t2 ∴运动员下落到水面约需0.93s. 【教学说明】让学生自主探究、相互交流,掌握计算器的使用方法,并能借助计算器求一些数的平方根,对于例4这样的实际问题,可设未知数列出方程,而解x2=a这样的方程,可看作是求a的平方根. 【归纳结论】对于一些非平方数,可以利用计算器求出它们的平方根. 四、运用新知,深化理解 1.填空:
(1)一个正数有两个平方根,而且这两个平方根 ; (2) 有且只有一个平方根,它的平方根就是 ; (3) 数没有平方根. 2.判断是非. (1)4是16的算术平方根.( ) (2) 是的一个平方根.( ) (3)(-5)2的平方根是-5.( ) (4)0的算术平方根是0.( ) 3.下列的各式是否有意义,说明理由: 4.求下列各数的平方根,算术平方根,并用式子表示. (1)49;
(2)25. 5.用计算器求下列各式的值(精确到0.01):
6.一个正数x的两个平方根分别是2a-1与-a+2,求a和x. 7.若|2014-a|+=0.求a-b的值. 【教学说明】学生自主探究,教师巡视,及时给予指导. 【答案】 1.(1)互为相反数 (2)0 0 (3)负 2.(1)√(2)√(3)×(4)√ 3.(1)(3)(4)有意义(2)无意义,理由略 4. 6.由2a-1-a+2=0得a=-1,当a=-1时,x=(2a-1)2=(-3)2=9. 7.由2014-a=0,b-2015=0得a=2014,b=2015,∴a-b=2014-2015=-1. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾知识点,反思问题,共同提高. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题引出平方根和算术平方根,学生积极主动探索,教师引导与启发,激发学生学习兴趣. 2.立方根 【知识与技能】 1.理解立方根的概念,会用符号表示一个数的立方根. 2.知道开立方与立方互为逆运算,会求某些数的立方根,理解并掌握立方根的性质. 3.能利用计算器求立方根. 【过程与方法】 通过观察、理解开立方运算和立方运算的互逆关系,掌握求一个数的立方根的方法,培养学生的演绎、归纳能力. 【情感态度】 在数学活动中激发学生自己探索的兴趣,通过合作交流,让学生体验成功的喜悦. 【教学重点】 会求一个数的立方根,掌握立方根的性质. 【教学难点】 理解开立方与立方的互逆关系. 一、情境导入,初步认识 问题 要做一个容积是64dm3的正方形木箱,如图,问它的棱长是多少? 【教学说明】教师提出问题,让学生独立思考,然后相互交流,学生很容易设出未知数、列出方程、感受立方根是实际的需要,激发学生探求新知识的欲望. 二、思考探究,获取新知 1.立方根的定义 问:已知一个数的立方怎样求这个数呢? 【教学说明】教师提出问题,引导学生一起分析引出立方根的定义. 【归纳结论】一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根,也叫做三次方根. a的立方根记作,读作“三次根号a”,其中a叫做被开方数,3叫做根指数. 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 2.立方根的求法 问:在上面的问题中,64的立方根是多少呢? 【教学说明】教师提出问题,学生很容易联想到平方根的求法,从而找到立方根的求法. 【归纳结论】开立方与立方互为逆运算,根据这种关系,可求出一些数的立方根. 三、典例精析,掌握新知 例1求下列各数的立方根:
(1)27; (2)-64; (3)0. 【解】(1)因为33=27,所以27的立方根是3.即=3. (2)因为(-4)3=-64,所以的立方根是-4.即=-4. (3)因为03=0,所以0的立方根是0,即=0. 例2用计算器求下列各数的立方根(精确到0.01): (1)2;
(2)7.797;
(3)-17.456;
(4)
. 【教学说明】让学生独立完成,掌握求一个数的立方根的方法,相互交流,归纳出立方根的性质. 【归纳结论】正数的立方根是一个正数;
负数的立方根是一个负数;
0的立方根是0. 例3若=4,求x的平方根. 【解】∵=4. ∴x=64. ∴x的平方根是±8. 例4若 +|x2-9|=0.求3x+6y的立方根. 【解】由题意得2x+y=0,x2-9=0. ∴x=±3. 当x=3时,2×3+y=0,∴y=-6. 3x+6y=3×3+6×(-6)=-27,它的立方根是-3. 当x=-3时,2×(-3)+y=0,∴y=6. 3x+6y=3×(-3)+6×6=27.它的立方根是3. ∴3x+6y的立方根为3或-3. 【教学说明】学生独立自主探究,相互交流,提高对知识的综合运用能力. 四、运用新知,深化理解 1.判断是非:
(1)3是-27的立方根.( ) (2)64的立方根是±4.( ) (3)0是0的立方根.( ) 2.填空:
3.求下列各数的立方根: (1)1; (2)-1; (3)8; (4)-8. 4.用计算器计算(精确到0.1):
5.如果4x2=25,(y+1)3=1/8,求x-y的值. 6.用计算器探索规律:
你能发现其中的小数点的移动的规律吗? 【教学说明】学生自主完成,教师巡视,对学生解题过程中出现的问题及时予以指正,加深学生对所学知识的理解和运用. 【答案】1.(1)×(2)×(3)√ 2.1,2,3,4,125,216,343,512,729,1000 6.(1)11 (2)110 (3)1100 (4)1.1 (5)0.11 规律:被开方数的小数点每向左(或向右)移动三位.所得正方根的小数点就相应地向左(或向右)移动一位. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾立方根的定义和求根方法,以及立方根的性质等知识点,加深对所学知识的理解. 完成练习册中本课时练习. 以实际问题引出立方根,学生积极主动探索、教师引导启发,让学生在交流中体会成功的喜悦. 6.2 实数 第1课时 实数的概念及分类 【知识与技能】 1.了解无理数和实数的概念. 2.会对实数进行分类. 3.会用“夹逼法”估计一个无理数的大小,会将循环小数化为分数. 【过程与方法】 从实际问题引出无理数,会用“夹逼法”估计无理数的大小,能用两种方法对实数进行分类,增强学生的参与意识,发挥学生的积极主动性. 【情感态度】 让学生在独立思考的基础上,积极参与数学问题的讨论,勇于发表自己的观点,增强合作交流意识,激发学生的学习兴趣. 【教学重点】 掌握无理数的三种形式,能够识别有理数和无理数,能对实数进行分类. 【教学难点】 循环小数化为分数的规律与方法. 一、情境导入,初步认识 问题如图是由4条横线,5条竖线构成的方格网,它们相邻的行距,列距都是1,从这些纵横线相交得出的20个点(称为格点)中,我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形,叫做格点正方形.你能找出多少种面积互不相同的格点正方形? (1)有面积分别是1,4,9的格点是正方形吗? (2)有面积是2的格点正方形吗?把它画出来. (3)还有与这些面积不相同的格点正方形吗? 【教学说明】教师提出问题,学生自主探究然后相互交流,第(1)问学生很容易得到答案,第(2)问教师可适当加入引导启发. 二、思考探究,获取新知 1.问:我们看到四个边长为1的相邻正方形的对角线就围成一个面积为2的格点正方形这种正方形的边长应是多少? 【教学说明】学生自然联想到平方根这一节所学知识,很容易得出这种正方形的边长为 . 探究 是一个怎样的数呢? 因为12=1<2,22=4>2. 所以1<<2,这说明2不可能是整数. 因为1.42=1.96<2,1.52=2.25>2. 所以1.4<<1.5. 类似地,可得1.414<<1.415. 像上面这样一直做下法,可以得到:
=1.41412135…这说明是一个无限不循环小数. 【归纳结论】无限不循环小数叫做无理数. 任何整数、分数都可以化为有限小数或无限循环小数,反过来,任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式,因此有理数是有限小数或无限循环小数;
而无理数是无限不循环小数. 2.实数的分类. 问:有理数和无理数统称为实数,这样,我们认识的数的范围又一次扩大了,我们该怎样对实数进行分类呢? 【教学说明】教师提出问题,学生思考尝试,然后相互交流,掌握实数的两种分类方法. 【归纳结论】我们可以将实数按如下方式分类:
有理数、无理数都有正、负之分,实数也可以作如下分类:
三、典例精析,掌握新知 【教学说明】教师给出例题后,让学生独立完成,然后让部分学生上台展示自己的答案,加深对所学新知识的理解. 四、运用新知,深化理解 1.把下列各数分类填入图中: 2.把下列各数写成分数形式:
3.判断是非:
(1)无限小数都是无理数.( ) (2)无限不循环小数是无理数.( ) (3)无理数是带根号的数.( ) (4)分数是无理数.( ) 4.下列各组数都是无理数的是( )
【教学说明】教师展示习题,学生独立完成,教师巡视,对学生的疑惑及时给予指导. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾无理数、实数的概念以及实数的分类,加深对所学知识的理解. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题中引出无理数,进而引出实数并对实数进行分类,学生积极主动探索,教师引导启发,学生合作交流,培养学生继续探索的兴趣. 第2课时 实数的运算与大小比较 【知识与技能】 1.知道实数与数轴上的点一一对应. 2.会求一个实数的相反数、绝对值、倒数,会进行实数的运算. 3.会比较实数的大小. 【过程与方法】 类比有理数的运算法则和运算律,以及有理数大小的比较方法,会进行实数的运算,会比较实数的大小,提高学生的运算能力. 【情感态度】 发挥学生主观能动性,还课堂于学生,引导学生自主探索,合作交流,便于学生获得成功的喜悦,激发学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 会求一个实数的相反数、绝对值、倒数,会进行实数的运算,会比较实数的大小. 【教学难点】 实数大小的比较. 一、情境导入,初步认识 问题每一个有理数都可用数轴上的一个点来表示,无理数(如)能用数轴上的点表示吗? 【教学说明】教师展示问题后,让学生自主探索,相互交流,发表自己的见解,初步感受实数与数轴上点的对应关系. 二、思考探究,获取新知 1.实数与数轴上的点的对应关系. 问:如图,以数轴上的单位长度为边作一个正方形,以原点为圆心,这个正方形对角线长为半径画弧,与数轴正半轴的交点记作A,那么,点A表示什么数?点A′表示什么数? 【教学说明】学生容易想到上节所学知识,知道边长为1的正方形的对角线长为,从而知道点A,点A′分别表示什么数,理解实数与数轴上的点的对应关系. 【归纳结论】一般地,与有理数一样,每个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示;
反过来,数轴上的点不是表示无理数就是表示有理数,所以,把数从有理数扩大到实数以后,实数和数轴上的点一一对应,即任何一个实数都可以用数轴上的一点来表示;
反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数. 2.实数的相反数、倒数、绝对值的求法. 问:的相反数是什么?倒数呢?绝对值呢? 【教学说明】教师提出问题,学生分析、思考、相互交流、得出结论. 【归纳结论】在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义与在有理数范围内完全一样. 与-互为相反数,有+(-)=0. 与1/互为倒数,有×1/=1. 任一个实数a的绝对值仍然用|a|表示,如|3|=3,|-3|=3. 三、典例精析,掌握新知 【教学说明】教师给出例题,让学生独立完成,然后让部分学生上台展示自己的答案.掌握实数的运算方法. 【归纳结论】实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除,乘方运算,正数及零可以进行开平方运算,任意一个实数可以进行开立方运算,而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用. 例3在数轴上作出表示下列各数的点,比较它们的大小,并用“<”连接它们. 【教学说明】教师给出例题后,学生自己动手操作,然后相互交流,体会数形结合的思想. 【归纳结论】两个实数可以像有理数一样比较大小,即数轴上右边的点所表示的数总是大于左边的点所表示的数.在实数范围内有:
正数大于零,负数小于零,正数大于负数. 两个正数,绝对值大的数较大. 两个负数,绝对值大的数反而小. 四、运用新知,深化理解 1.近似计算(精确到0.01):
2.比较下列各组数据中两个数的大小:
【教学说明】教师给出习题,学生独立完成,教师巡视,对有疑惑的学生给予指导. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑惑?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾实数与数轴上的点的对应关系,实数的运算和大小的比较等知识,加深对所学知识的理解. 完成练习册中本课时练习. 创设情境,给出实例,由学生动手操作,积极参与.通过思考、讨论、分析的过程,培养学生爱学习、爱动脑的习惯,提高学生分析问题、解决问题的能力. 章末复习 【知识与技能】 进一步加深对平方根、立方根、无理数、实数概念的理解,会求平方根、立方根,会比较实数的大小,能运用实数的运算解决具体问题. 【过程与方法】 通过梳理本章知识,回顾解决问题中所涉及的数形结合思想,转化思想,类比思想,加深对本章知识的理解和应用. 【情感态度】 在运用实数的有关知识解决具体问题的过程中,进一步体会数学与生活的密切联系,增强学生的数学应用意识,激发学生学习兴趣. 【教学重点】 实数的运算及大小比较. 【教学难点】 运用实数的有关知识解决具体问题. 一、知识框图,整体把握 【教学说明】引导学生回顾本章知识点,展示本章知识结构框图,便于学生能系统地了解本章知识及它们之间的关系,教学时,边回顾边建立结构框图. 二、释疑解惑,加深理解 1.平方根、算术平方根、立方根 如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根;
a的正数平方根,叫做a的算术平方根;
如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根. 2.无理数、实数 无限不循环小数叫做无理数,无理数和有理数统称为实数,实数与数轴上的点一一对应. 3.实数的性质 在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一样,实数a的相反数是-a,倒数是1/a(a≠0),绝对值是|a|. 4.实数的分类 5.实数的大小比较 在实数范围内也有:正数大于零、负数小于零、正数大于负数;
两个正数、绝对值大的数较大;
两个负数,绝对值大的数反而小. 三、典例精析,复习新知 【分析】对实数进行分类,应先对某些数进行计算或化简,然后根据它的最后结果进行回答,不能只看表面形式. 例2已知|a-1|+=0,则a+b=( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 【分析】由绝对值和算术平方根的非负性可得:
,∴ ,∴a+b=-6故选B. 例3计算:
【分析】按实数的运算法则,运算性质和运算顺序进行计算. 【解】(1)原式=-8×+(-4)÷2+ =-2-2+=-4+;

(2)原式=0.5-+-0.5=-. 例4 已知a、b互为倒数,c、d互为相反数,m为2的算术平方根,求. 【分析】由a、b互为倒数可得ab=1,则c、d互为相反数可得c+d=0,由m为2的算术平方根可得m=. 【解】由题意得:ab=1,c+d=0,m=. ∴原式= +-=1-. 【教学说明】教师可适当进行评讲,强调应用各知识需要注意的问题,培养学生综合运用所学知识的能力,对于例题可适当增减. 四、复习训练,巩固提高 1.已知实数x、y满足 +(y+1)2=0,则x-y等于( )
A.3 B.-3 C.1 D.-1 有理数集合{ } 无理数集合{ } 正实数集合{ } 负实数集合{ } 3.已知≈1.732, ≈5.477,求值:
(1) ≈ (2) ≈ (3)≈ (4) ≈ 4.比较大小. (1) 与0.1 (2) 与 5.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的算术平方根是4,求a+10b的平方根. 6.已知的整数部分为a,2+的小数部分为b,求a+b的值. 【教学说明】通过这几个习题的训练,加深对本章知识的理解,进一步提高学生综合运用所学知识的能力,学生自主探究,教师对有疑惑的学生进行适当的点拨. 五、师生互动,课堂小结 1.通过这节课的学习,你对本章知识有哪些新的认识?有何体会?请与同伴交流. 2.通过本章知识的学习,你掌握了哪些数学思想方法?说说看. 【教学说明】学生回顾本章知识,积极与同伴交流,积累解题方法和经验. 完成练习册中本课时练习. 通过知识框图的呈现,让学生更好的回顾本章的知识点,进行知识梳理,通过例题的讲解与复习训练,进一步提高学生解决问题的能力. 第7章一元一次不等式与不等式组 7.1不等式及其基本性质 【知识与技能】 1.理解不等式的概念,能够识别不等式,会列不等式. 2.掌握不等式的基本性质,能灵活运用不等式的基本性质进行不等式的变形. 【过程与方法】 了解不等式的概念,掌握不等式的基本性质,培养学生的观察、演绎能力,提高学生的归纳概括能力. 【情感态度】 有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中,培养学生的观察、归纳能力,通过学习,体验成功的喜悦,激发学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 不等式的基本性质. 【教学难点】 正确应用不等式的基本性质进行不等式变形. 一、情境导入,初步认识 在前面的学习中,我们已经知道两个数或同类的数比较,有相等关系,也有不等关系,怎样用不等号来表示数量之间的不等关系呢? 问题用适当的式子表示下列关系:
(1)2x与3的和不大于-6;

. (2)x的5倍与1的差小于x的3倍;

. (3)a与b的差是负数;

. 【教学说明】 教师给出问题后,让学生自主探究然后相互交流,学生很容易列出式子,初步感受用不等号来表示数量之间的不等关系,激发学生继续探究的兴趣. 二、思考探究,获取新知 1.不等式. 问题 (1)雷电的温度大约是28000℃,比太阳表面温度的4.5倍还要高,设太阳表面温度为t℃,那么t应满足的关系式是 . (2)一种药品每片为0.25g,说明书上写着:“每日用量0.75~0.25g,分3次服用”.设某人一次服用x片,那么x应满足的关系式是 . 【教学说明】 教师给出问题,引得学生进行分析,进一步感受用不等号来表示数量之间的不等关系,进而引出不等式的定义. 【归纳结论】用不等式(>、≥、<、≤或≠)表示不等关系的式子叫做不等式. 2.不等式的性质. 观察教材第24页图73,图中一台天平两端的托盘中分别放置了质量为a,b的物体,图中天平倾斜,这直观地说明a>b. 这时,如果在两端托盘中同时加上质量为c的物体,天平的倾斜方向会改变吗?这反映的数量关系是什么呢? 思考:对于倾斜的天平,如果两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一,那么天平的倾斜方向会改变吗? 探究(1):如果a>b,那么它们的相反数-a与-b哪个大,你能用数轴上点的位置关系和具体的例子加以说明吗? (2)如果a>b,c>0,那么ac与bc有怎样的大小关系? 【教学说明】学生通过观察、思考、分析、与同伴进行交流,归纳不等式的基本性质. 观察(2):如图,设数轴上的三个点A、B、C分别表示三个实数a,b,c,从中你能发现不等式的什么性质? 【教学说明】学生通过观察、思考能够直观地得出a、b、c的大小关系,归纳不等式的基本性质. 【归纳结论】不等式有如下的基本性质:
性质1 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变,即 如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c. 性质2 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,c>0,那么ac>bc,. 性质3 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即 如果a>b,c<0,那么ac<bc, . 性质4 如果a>b,那么b<a. 性质5 如果a>b,b>c,那么a>c. 三、典例精析,掌握新知 例1 在下列的不等式的变形后面填上依据:
(1)如果a-3>-3,那么a>0. (2)如果3a<6.那么a<2. (3)如果-a>4,那么a<-4. (4)如果a>b,b>0,那么a>0. 【解】(1)不等式的性质1 (2)不等式的性质2 (3)不等式的性质3 (4)不等式的性质5 例2运用不等式的性质,将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式: 【分析】运用不等式的性质,对不等式进行适当的变形. 【教学说明】让学生自主探究、相互交流,进一步掌握不等式的基本性质,并能运用不等式的基本性质进行适当的变形. 四、运用新知,深化理解 1.如果a<b,用不等号连接下列各式的两边:
(1)4a 4b; (2)a-10 b-10; (3)a b; (4)-a -b. 2.若m>n,判断下列不等式是否正确:
(1)m-7<n-7.( )
(2)3m<3n.( )
(3)-5m>-5n.( )
(4)
>.( )
3.如果x≥y,a<0,b>0,用不等号连接下列各式的两边. 4.如图,若天平右盘中每个砝码的质量都是1g,则图中药品A的质量在什么范围内? 5.运用不等式的性质,将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式: (1)3x>-2 (2)5-3x>2 (3)9x-1>10x (4)-5x+6<2x+1 【教学说明】学生自主完成,教师巡视,对学生解题过程中出现的问题及时予以指正,加深学生对所学知识的理解和运用. 【答案】1.(1)<(2)<(3)<(4)>2.(1)×(2)×(3)×(4)√3.(1)≤(2)≥(3)≥(4)≤ 4.由图(1)得药品A的质量小于3g.由图(2)得药品A的质量大于2g,故药品A的质量大于2g且小于3g. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流。

【教学说明】学生相互交流,回顾不等式的定义及不等式的基本性质,加深对所学知识的印象. 完成练习册中本课时练习. 从用不等号来表示数量的不等关系引出不等式,并探索不等式的基本性质,让学生在交流中体会成功的喜悦,激发学生学数学的兴趣. 7.2 一元一次不等式 第1课时 解一元一次不等式 【知识与技能】 1.理解一元一次不等式,不等式的解和解集的概念. 2.掌握一元一次不等式的解法,并能在数轴上表示出一元一次不等式的解集. 【过程与方法】 经历从实际问题中得到一元一次不等式,并探索一元一次不等式的解法,进一步体会数形结合这一重要数学思想的方法. 【情感态度】 让学生在独立思考的基础上,积极参与数学问题的讨论,勇于发表自己的观点,增强合作交流意识,激发学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 熟练并准确地解一元一次不等式. 【教学难点】 正确并熟练地运用不等式的基本性质3. 一、情境导入,初步认识 问题某公司的统计资料表明,科研经费每增加1万元,年利润就增加1.8万元.如果该公司原来的年利润为200万元,要使年利润超过245万元,那么增加的科研经费应高于多少万元? 【教学说明】教师提出问题,学生自主探究,然后相互交流,对于有困难的同学,教师可适当给予点拨. 二、思考探究,获取新知 1.一元一次不等式的概念. 问:如果设该公司增加科研经费x万元,能列出怎样的不等式呢?这个不等式会有几个未知数?未知数的次数是几呢? 【教学说明】学生列出不等式后,观察并相互交流,感受一元一次不等式的特征. 【归纳结论】含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式. 2.一元一次不等式的解与解集以及解一元一次不等式. 思考:(1)判断下列给出的数中哪些能使不等式200+1.8x>245成立:
30.5,24.5,25.5,22,10. (2)你还能找出使上述不等式成立的其他数吗?能找多少个? 【教学说明】学生自然联想到一元一次方程,容易想到可用代入检验的方法判断哪些数使不等式成立,哪些使不等式不成立,从而得出一元一次不等式的解(解集)与一元一次方程的解的区别. 【归纳结论】一般地,能够使不等式成立的未知数的值,叫做这个不等式的解,所有这些解的集合称为这个不等式的解集.一元一次方程的解只有一个,一元一次不等式的解有无数个,求不等式解集的过程叫做解不等式. 三、典例精析,掌握新知 例1 解不等式:2x+5≤7(2-x), 【解】去括号,得2x+5≤14-7x, 移项,得2x+7x≤14-5. 合并同类项,得9x≤9. x系数化成1,得x≤1. 不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,如x≤1,可用数轴上表示1的点以及左边所有点来表示 例2 解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来:
【解】去分母,得2(4+x)-6<3x. 去括号,得8+2x-6<3x. 移项,合并同类项,得-x<-2. x系数化成1,得x>2.在数轴上表示不等式的解集为: 交流:一元一次方程的解法与一元一次不等式的解法有哪些相同点和不同点?为什么解法会有不同? 【教学说明】学生自主探究,然后相互交流,讨论一元一次不等式与一元一次方程解法的异同. 【归纳结论】解一元一次不等式与解一元一次方程的方法与步骤是一样的,也有(1)去分母;
(2)去括号;
(3)移项,合并同类项;
(4)系数化为1等几个步骤,不同之处在于解不等式时,不等式两边同乘以或除以一个负数时,不等号要改变方向. 四、运用新知,深化理解 1.解下列不等式:
(1)x+5>2;
(2)2x<-2;
(3)15-7x>3x+5;
(4)4x-7>2x+5. 2.解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来. 3.设▲,■,●表示三种不同的物体,现用天平称了两次,情况如图所示,那么▲,■,●这三种物体的质量从大到小的顺序排列应为( )
A.■,●,▲ B.■,▲,● C.▲,●,■ D.▲,■,● 4.当x为何值时,1-的值不小于的值? 5.求不等式3x+16≥5x+8的非负整数解. 6.已知方程组的解x、y满足2x+y≥0,求m的取值范围. 【教学说明】教师给出习题,学生自主完成,教师巡视,对有困难的同学给予指正. 【答案】1.(1)x>-3 (2)x<-1 (3)x<1 (4)x>6 2.(1)去分母得3x+7>5x-5. 移项,合并得-2x>-12. 系数化为1得x<6. 不等式的解集在数轴上表示为:
(2)去分母得2x+1<-5(x-3), 去括号得2x+1<-5x+15, 移项,合并得7x<14, 系数化为:x<2. 不等式的解集在数轴上表示为:
3.D 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑惑?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾一元一次不等式的概念及解法,加深所学知识的理解. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题中引出一元一次不等式,进而探索一元一次不等式的解法,学生积极主动,从合作交流中获得成功的喜悦,激发学生学习数学的兴趣. 第2课时 一元一次不等式的应用 【知识与技能】 1.能从简单的实际问题出发,导出不等关系,从而列不等式并解出答案. 2.了解数学与实际的紧密联系,提高运用数学的意识. 【过程与方法】 通过实际问题,体会不等式的建模思想,感受列不等式解实际问题的一般思想和步骤. 【情感态度】 在运用不等式的有关知识解决实际问题的过程中,进一步体会数学与生活的密切联系,增强学生的数学应用意识,激发学生的学习兴趣. 【教学重点】 根据不等关系列不等式解决实际问题. 【教学难点】 列不等式和解不等式时注意不等号的方向. 一、情境导入,初步认识 问题某工程计划在10天内修路6km,施工前2天修完1.2km后,计划发生变化,准备提前2天完成修路任务,以后几天内平均每天至少要修路多少? 【教学说明】教师给出问题后,学生自主探究相互交流,发表自己的见解,初步感受如何运用一元一次不等式解决实际问题. 二、思考探究,获取新知 运用一元一次不等式解决实际问题. 问题 某制衣厂现有24名制作服装的工人,每天都制作某种品牌的衬衫和裤子,每人每天可制作衬衫3件或裤子5条,已知制作一件衬衫可获得利润30元,制作一条裤子可获得利润16元,若该厂要求每天获得的利润不少于2100元,则至少需要安排多少名工人制作衬衫? 【教学说明】教师给出问题,引导学生分析,进一步感受运用一元一次不等式解决实际问题的方法,增强运用数学的意识. 【分析】设安排x名工人制作衬衫. 由题意得:30×3x+16×5(24-x)≥2100. 解得x≥18. 故至少要安排18名工人制作衬衫. 【归纳结论】有些实际问题中存在不等关系,用不等式来表示这样的关系,就能把实际问题转化为数学问题,从而通过解不等式得到实际问题的答案. 三、典例精析,掌握新知 例1 松山公园菊花展个人票每张10元,20人以上(含20人)的团体票8折优惠.在人数不足20人的情况下,试问何时买20人的团体票比买个人票要便宜? 【解】 设人数为x,买个人票需要10x元,买20人的团体票需要20×10×80%元,根据题意,得 10x>20×10×80% 解不等式,得x>16. 因为人数必须是小于20的整数,即x<20.因此,当人数是17,18,19时,买20人的团体票比买个人票要便宜. 例2 李辉到某服装专卖店做社会调查,了解到商店为激励营业员的工作积极性,实行“月总收入=基本工资+计件资金”的方法,并获得如下信息:
假设月销售件数为x件,销售每件奖励a元,营业员月基本工资为b元. (1)求a,b的值;

(2)若营业员甲某月总收入不低于1800元,那么甲当月至少要卖服装多少件? 答:销售每件奖励3元,营业员月基本工资为800元. (2)设甲当月卖服装x件,依题意得 3x+800≥1800, 解得x≥. 答:甲当月至少要卖服装334件. 【教学说明】教师给出例题,学生自主探究,然后选取部分同学上台展示自己的答案,进一步提高解决问题的能力. 【归纳结论】列不等式解决实际问题跟列方程解决实际问题的步骤一样:(1)审题,找不等关系;
(2)设未知数;
(3)列不等式;
(4)解不等式;
(5)根据实际情况写出答案. 四、运用新知,深化理解 1.学校准备用2000元购买名著和辞典,其中名著每套65元,辞典每本40元,现已购买名著20套,问最多还能买辞典多少本? 2.某班级共有50名学生,准备召开元旦晚会,需租用场地和音响设备,其费用为500元,同时为每位学生提供水果和点心.如果总费用预算不超过750元,问最多可以给每位学生准备用于买水果和点心的费用为多少? 3.某种导火绳燃烧的速度是0.8cm/s,一位工人点燃导火绳后以6m/s的速度跑到距离爆破点120m以外的安全区,问导火绳至少要多长? 4.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆,其中轿车至少要购买3辆,轿车每辆7万元,面包车每辆4万元,公司可投入的购车款不超过55万元;

(1)符合公司的购买方案有几种?请说明理由. (2)如果每辆轿车的日租金为200元,每辆面包车的日租金为110元,假设新购买的10辆车每日都可租出,要使这10辆车的日租金不低于1500元,那么应选择以上哪种购买方案? 【教学说明】学生自主完成,教师巡视,对学生解题过程中出现的问题及时予以指正,增强学生对所学知识的理解和运用. 【答案】1.设还能购买辞典x本. 由题意得:65×20+40x≤2000解得x≤17.5. 又∵x为整数.∴x≤17.∴最多还能购买辞典17本. 2.设给每位学生准备用于买水果和点心的费用为x元.由题意得:50x+500≤750. 解得x≤5. ∴最多给每位学生准备用于买水果和点心的费用为5元. 3.设导火绳的长为xcm. 由题意得6×≥120. 解得x≥16. ∴导火绳至少要为16cm. 4.(1)设购买轿车x辆,则面包车购买(10-x)辆,依题意得7x+4(10-x)≤55. 解得x≤5.∵轿车至少要购买3辆. ∴x为3,4,5,方案见下表:
(2)设购买轿车x辆,则面包车购买(10-x)辆,依题意得200x+110(10-x)≥1500, 解得x≥. ∴所以应选方案3,购买轿车、面包车各5辆. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同学们交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾运用一元一次不等式解决实际问题的步骤,加深对所学知识的理解和应用. 完成练习册中本课时练习. 从运用一元一次不等式解决实际问题中,体会数学与生活的密切联系.通过分析、思考、探索、合作与交流,增强学生学好数学的信心. 7.3 一元一次不等式组 【知识与技能】 1.能根据实际问题,了解一元一次不等式组的相关概念. 2.会解一元一次不等式组也会用数轴确定一元一次不等式组的解集. 【过程与方法】 使学生通过探索一元一次不等式组及其解法的过程,掌握一元一次不等式组的解法,进一步体会数形结合的数学思想和方法. 【情感态度】 有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中,培养学生观察、归纳、动手操作的能力,通过合作学习,体验成功的喜悦,激发学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 一元一次不等式组的解法. 【教学难点】 求两个不等式解集的公共部分. 一、情境导入,初步认识 问题 小莉带5元钱去超市买作业本,她拿了5本,付款时发现钱不够,于是小莉退掉一本,收银员找给她一些零钱.请你估计一下,作业本单价约是多少元? 【教学说明】教师给出问题,学生自主探索相互交流,进一步感受数学与生活的紧密联系,初步了解不等式组. 二、思考探究,获取新知 一元一次不等式组及解不等式组. 问题 某村种植杂交水稻8km2,去年的总产量是94800kg.今年改进了耕作技术,估计总产量比去年增产2%~4%(包括2%和4%).那么今年水稻平均每公顷的产量将会在什么范围内? 【分析】设今年水稻平均每公顷的产量为xkg,则今年水稻的总产量为8xkg,根据题意, 【教学说明】教师给出问题,引导学生分析,进一步了解不等式组. 【归纳结论】由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组. 这几个一元一次不等式解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集. 求一元一次不等式的解集的过程叫做解不等式组. 三、典例精析,掌握新知 例1解不等式组:
【解】 解不等式①,得x>-1.5. 解不等式②,得x>2. 在数轴上分别表示这两个不等式的解集 从图可知,这两个不等式的解集无公共部分,因此,原不等式组无解. 交流:1.说一说不等式组的解还有哪几种情况? 2.假设a<b,你能很快说出下列不等式组的解集吗? 【教学说明】 教师给出例题,学生自主探究,选取部分同学上台展示自己的答案,然后相互交流各自的心得,掌握不等式组的解法. 【归纳结论】不等式组可能有解,也可能无解.在确定两个不等式解集的公共部分时,可借助数轴,也可利用歌诀“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小解不了”. 四、运用新知,深化理解 【教学说明】学生自主完成,教师巡视,对学生解题过程中出现的问题及时予以指正,增强学生对所学知识的理解和运用. 【答案】1.(1)解不等式①得x<1. 解不等式②得x<-2. 不等式①、②的解集在数轴上表示为:
∴原不等式组的解集为x<-2. (2)解不等式①得x≥5. 解不等式②得x≥3. 不等式①、②的解集在数轴上表示为:
∴原不等式组的解集为x≥5. (3)解不等式①得x>. 解不等式②得x≤-4. 不等式①、②的解集在数轴上表示为:
∴原不等式组无解. 2.解不等式①得x>m+n-2,解不等式②得x<m. 又不等式组的解集为-1<x<2. ∴m+n-2=-1 m=2. 解得m=2 n=-1. ∴m-n=3. 3.解不等式①得x<3,解不等式②得x>. ∵不等式组无解.∴≥3,解得a≥4. 4.解不等式①得x>-,解不等式②得x<2a+3. ∵原不等式组恰有两个整数解. ∴-<x<2a+3,且整数解为x=0,1. ∴1<2a+3≤2. ∴-1<a≤-. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同学们交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾一元一次不等式组的定义及解法,巩固所学新知识. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题中得出一元一次不等式组,再探究一元一次不等式组的解法,通过合作与交流,让学生体会成功的喜悦,激发学生学习数学的兴趣. 7.4 综合与实践 排队问题 【知识与技能】 能根据实际问题中的数量关系,列出一元一次不等式(组),解决简单的实际问题. 【过程与方法】 由实际问题中找出不等关系,培养学生观察、分析、归纳、概括的能力,体会列表法、由特殊到一般等主要的数学思想和方法. 【情感态度】 有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中,培养学生分析问题、解决问题的能力,通过合作与交流让学生体会成功的喜悦. 【教学重点】 利用不等式(组)解决简单实际问题. 【教学难点】 利用不等式(组)解决排队问题. 一、情境导入,初步认识 在日常生活和生产实践中经常遇到排队等待的现象(如教材第38页图713和图714),例如:医院挂号付费、银行办理业务等.某些场合下、由于排队的人很多,人们将花费很多的时间在等待,这使人们的工作和生活受到很大的影响.服务机构通常通过增加服务窗口来减少排队,但窗口增加过多又会造成人力,物力的浪费.如何使投入的资源较少,而顾客对得到的服务又较满意呢? 【教学说明】以学生非常熟悉的实际生活例子引入,容易激发学生的探求欲望,让学生相互交流,发表自己的见解,进一步感受数学与实际生活的紧密联系. 二、思考探究,获取新知 问题 某服务机构开设了一个窗口办理业务,并按顾客“先到达,先服务”的方式服务,该窗口每2min服务一位顾客.已知当窗口开始工作时,已经有6位顾客在等待,在窗口开始工作1min后,又有一位“新顾客”到达,且预计以后每5min都有一位“新顾客”到达. (1)设e1,e2,……,e6表示当窗口开始工作时已经在等待的6位顾客,c1,c2,…,c6表示在窗口开始工作以后,按先后顺序到达的“新顾客”,请将下面表格补充完整(这里假设e1,e2,…,e6的到达时间为0). (2)下面表格表示每一位顾客得到服务之前所需等待的时间,试将该表格补充完整. (3)根据上述两个表格,能否知道“新顾客”中,哪一位是第一位到达服务机构而不需要排队的?求出他的到达时间. (4)在第一位不需要排队的顾客到达之前,该窗口已经服务了多少位顾客?为这些顾客服务共花费了多长时间? (5)平均等待时间是一个重要的服务质量指标,为考察服务质量,问排队现象消失之前,所有顾客的平均等待时间是多少? 【教学说明】教师给出问题,引导学生进行分析,然后相互进行交流,感受列表法对解决此类问题所具有的优点. 【归纳结论】运用列表法可以比较方便的解决简单排队问题. 三、典例精析,掌握新知 例1 在上面问题的条件中,当服务机构的窗口开始工作时,如果已经有10位顾客在等待(其他条件不变),且当“新顾客”cn离去时,排队现象就此消失了,即cn+1为第一位到达后不需要排队的“新顾客”,问:
(1)用关于n的代数式来表示,在第一位不需要排队的“新顾客”cn+1到达之前,该窗口已经服务了多少位顾客?为这些顾客服务共花费了多长时间? (2)用关于n的代数式表示cn-1的到达时间. (3)根据(1)和(2)得到的代数式以及它们的数量关系,求n+1的值. 【解】(1)10+n(位) 2(10+n)=20+2n(min) (2)5n+1(min) (3)由题意得20+2n≤5n+1 解得n≥ 又n为整数 ∴n≥7 ∴n+1=8 例2 某校安排寄宿时,如果每间宿舍住7人,那么有1间虽有人住,但没有满,如果每间宿舍住4人,那么有100名学生住不下.问该校有多少寄宿生?有多少间宿舍? 【解】设有x间宿舍,依题意得 又x为整数,∴x=34,35. 当x=34时,4x+100=236(人); 当x=35时,4x+100=240(人). 答:该校有236个寄宿生,34间宿舍,或者有240个寄宿生,35间宿舍. 【教学说明】学生自主探究,选取部分同学上台展示自己的答案,然后相互交流各自的心得,增强运用数学知识解决实际问题的能力. 【归纳结论】对于例1,当使用列表法不方便时,可用代数式表示题中的数量,再根据题中的数量关系来解决问题;对于例2,分析题中的不等关系,建立不等式组来解决问题. 四、运用新知,深化理解 1.某公园出售的一次性使用门票,每张10元,为了吸引更多游客,新近推出购买“个人年票”的售票活动(从购买日起,可供持票者使用一年),年票分A、B两类:A类年票每张100元,持票者每次进入公园无需再购买门票;
B类年票每张50元,持票者进入公园时需要购买每次2元的门票.某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时,购买A类年票最合算? 2.某中学为了绿化校园,计划购买一批榕树和香樟树,经市场调查榕树的单价比香樟树少20元,购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元. (1)请问榕树和香樟树的单价各多少? (2)根据学校实际情况,需购买两种树苗共150棵,要使总费用不超过10840元,且购买香樟树的棵数不少于榕树的1.5倍共有几种方案? 【教学说明】学生自主完成,教师巡视,对学生解题过程中出现的问题及时予以指正,对有困难的学生进行点拨. 【答案】1.解:设该游客一年中进入该公园至少要超过x次时,购买A类年票最合算,根据题意得,解得x>25,即该游客一年中进入该公园至少要超过25次时,购买A类年票最合算. 2.解:(1)设榕树的单价为x元/棵,则香樟树的单价为(x+20)元/棵,由题意得:3x+2(x+20)=340.解得:x=60,∴x+20=80.答:榕树和香樟树单价分别是60元/棵,80元/棵. (2)设购买榕树a棵,则购买香樟树(150-a)棵,由题意得 解得:58≤a≤60. 又a为整数,∴a=58、59、60 ∴共有三种购买方案. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,发表自己的见解,反思问题,共同提高. 完成练习册中本课时练习. 运用数学知识解决实际问题,使学生进一步感受数学与生活的紧密联系,激发学生学好数学,用好数学的兴趣. 章末复习 【知识与技能】 进一步加深对不等式,一元一次不等式(组)概念的理解,掌握不等式的基本性质,会解一元一次不等式(组),能运用不等式(组)解决实际问题. 【过程与方法】 通过梳理本章知识,回顾解决问题中所涉及的数形结合思想、转化思想、类比思想,加深对本章知识的理解和应用. 【情感态度】 在运用不等式(组)的有关知识解决实际问题的过程中,进一步体会数学与生活的密切联系,增强学生的数学应用意识,激发学生学习的兴趣. 【教学重点】 不等式(组)的解法及应用. 【教学难点】 不等式(组)的应用. 一、情境导入,初步认识 【教学说明】引导学生回顾本章知识点,展示本章知识结构框图,使学生能系统地了解本章知识及它们之间的关系,放学时,边回顾边建立结构框图. 二、思考探究,获取新知 1.不等式,不等式的解集,解不等式 用不等号(>、≥、<、≤或≠)表示不等关系的式子叫做不等式;
使不等式成立的未知数的值,叫做这个不等式的解;
所有这些解的全体称为这个不等式的解集,求不等式解集的过程叫做解不等式. 2.不等式的基本性质 性质1,如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c. 性质2,如果a>b,c>0,那么ac>bc,>. 性质3,如果a>b,c<0,那么ac<bc,<. 性质4,如果a>b,那么b<a. 性质5,如果a>b,b>c,那么a>c. 3.一元一次不等式(组)
含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式.由多个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组. 三、典例精析,掌握新知 例1 下列式子:①-2<0,②3x-5>0,③x-1=0,④x2-x,⑤x≠-2,⑥x+2>x-1.其中是不等式的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【分析】③是方程,④是代数式,①、②、⑤、⑥是不等式,故选C. 例2 有下列4个结论:①5是不等式x+2>6的解;
②x>5是不等式x+2>6的解集;
③3是不等式x+3>6的解;
④x>4是不等式x+2>6的解集,其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【分析】当x=5时,x+2>6成立,∴5是不等式x+2>6的解,故①正确;
当x>5时,虽x+2>6成立,但x+2>6的解集是x>4,故②错误;
当x=3时,x+3=6,故③错误;
x+2>6的解集是x>4,故④正确,∴正确的有2个,故选B. 例3 已知a>b,若c是任意实数,则下列不等式中总是成立的是( )
A.a+c<b+c B.a-c>b-c C.ac<bc D.ac>bc 【分析】由不等式的基本性质可知B正确,故选B. 例4 把不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
【分析】解不等式得x≤1,故选A. 例5 解不等式(组),并把解集在数轴上表示出来. 【解】(1)去分母得,2(2x-1)-3(5x+1)≤6, 去括号得:4x-2-15x-3≤6, 移项,合并得:-11x≤11, 系数化为得:x≥-1. 不等式的解集化数轴上表示为:
(2)解不等式①得:x≤-2, 解不等式②得:x>-3. 不等式①、②的解集在数轴上表示为:
∴原不等式组的解集为:-3<x≤-2. 例7 某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2000只进行饲养,已知甲种小鸡苗每只2元,乙种小鸡苗每只3元. (1)若购买这批小鸡苗共用了4500元,求甲、乙两种小鸡苗各购买了多少? (2)若购买这批小鸡苗的钱不超过4700元,问应选购甲种小鸡苗至少多少只? 【解】(1)设购买甲种小鸡苗x只,则购买乙种小鸡苗(2000-x)只,由题意得:
2x+3(2000-x)=4500. 解得x=1500,∴2000-x=500. 答:购买甲种小鸡苗1500只,乙种小鸡苗500只. (2)由题意得:2x+3(2000-x)≤4700. 解得:x≥1300 ∴选购甲种小鸡苗至少为1300只. 例8 合肥市实验中学组织385名师生租车去某景区旅游,现知道出租公司有42座和60座两种客车,42座客车的租金每辆为320元,60座客车的租金每辆为460元,若学校同时租用这两种客车8辆(可以不坐满),而且要比单独租用一种车辆节省租金,请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案. 【解】单租42座客车:385÷42≈9.2,故应租10辆,共需租金320×10=3200(元); 单租60座客车385÷60≈6.4.故应租7辆共需租金460×7=3220(元). 设租用42座客车x辆,则60座的客车租(8-x)辆,由题意得:
∵x为整数. ∴x=4,5 当x=4时,租金为320×4+460×(8-4)=3120(元)
当x=5时,租金为320×5+460×(8-5)=2980(元). ∴学校租5辆42座客车,3辆60座客车最省钱. 【教学说明】教师可适当进行评价,强调应用各知识需要注意的问题,培养学生综合运用所学知识的能力,对于例题可适当增减. 四、复习训练,巩固提高 5.大衣服装店今年4月用4000元购进了一款衬衣若干件,上市后很快售完,服装店于5月初又购进同样数量的该款衬衣,由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20元,结果第二批衬衣进货用了5000元. (1)第一批衬衣进货时的价格是多少? (2)第一批衬衣售价为120元/件,为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率,那么第二批衬衣每件售价至少是多少? 6.某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件,已知生产一件A种产品用甲种9千克,乙种原料3千克,生产一件B种产品需用甲种原料4千克,乙种原料10千克,你能设计出A、B两种产品的生产方案吗? 【教学说明】加深学生对本章知识的理解,进一步提高学生综合运用所学知识的能力.学生自主探究,教师对有困难的学生进行适当点拨. 【答案】1.D 2.m≤2 3.0 4.解:解不等式①得x>a. 解不等式②得x<1. ∵原不等式组无解. ∴a≥1. 5.解:(1)该款衬衣的数量为(5000-4000)÷20=50(件)∴第一批衬衣的进货价格为4000÷50=80(元/件). (2)由(1)可知,第二批衬衣的进货价格为100元/件. 设第二批衬衣每件售价为x元. 则. 解得x≥150. ∴第二批衬衣每件售价至少为150元. 6.解:设生产A产品x件,依题意得 解得30≤x≤32. ∵x的整数解有30,31,32,则生产方案如下表:
五、师生互动,课堂小结 1.通过这节课的学习,你对本章知识有哪些新的认识?有何体会?请与同伴交流. 2.通过本章知识的学习,你掌握了哪些数学思想方法?说说看. 【教学说明】学生回顾本章知识,积极与同伴交流,积累解题方法和经验. 完成练习册中本课时练习. 通过知识框图的呈现,让学生更好地回顾本章的知识点,进行知识的梳理,通过例题的讲解与习题的训练,进一步提高学生分析问题、解决问题的能力,激发学生学习数学的兴趣. 第8章 整式乘法与因式分解 8.1 幂的运算 1.同底数幂的乘法 【知识与技能】 1.掌握同底数幂的乘法的运算性质.并且能对其熟练地进行运算. 2.能够运用运算性质解决问题. 【过程与方法】 体会幂的意义,领悟数学与现实世界的必然联系,感受由特殊到一般的辩证规律和数学思想方法,获得解决问题的经验. 【情感态度】 通过参考数学学习活动,培养学生独立思考及与他人合作交流的学习习惯,提高学习数学的兴趣. 【教学重点】 同底数幂乘法的运算性质. 【教学难点】 同底数幂乘法的运算性质的灵活运用. 一、情境导入,初步认识 问题我国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号”(教材第45页图8-1)每秒可进行 2.57×1015次运算,问它工作1h(3.6×103s)可进行多少次运算? 【教学说明】教师提出问题,让学生独立思考,然后相互交流.学生很容易列出算式,却不知该如何计算,激发学生探求新知识的欲望. 二、思考探究,获取新知 思考:怎样计算am·an? 先完成下表:
观察上表,发现同底数幂相乘有什么规律? 【教学说明】 教师提出问题,学生完成表格,相互交流,然后共同归纳同底数幂的乘法的运算性质. 【归纳结论】 同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am·an=am+n(m、n都是正整数). 三、典例精析,掌握新知 .【解】 (1)原式=-x4·x8=-x12. (2)原式=103·10a·10a+1=102a+4. (3)原式=(a+1)3. (4)原式=(x-y)[-(x-y)3]=-(x-y)4. 例3已知7a+b·7a-b=49,求a的值. 【解】 ∵7a+b·7a-b=72a=49=72. ∴2a=2.∴a=1. 例4已知am=3,am+n=6,求an的值. 【解】 ∵am+n=am·an=6. 又am=3. ∴3·an=6. ∴an=2. 【教学说明】 学生独立自主完成,教师可让部分学生上台展示自己的答案,加深对所学知识的理解. 四、运用新知,深化理解 1.下面的计算对不对?如果不对,应怎样改正? 2.计算:
3.计算:
4.已知6n·63n-9=216.求n的值. 5.已知ax=4,ay=5,求:
(1)ax+y;

(2)a2x+y. 6.已知2a=3,2b=5,2c=30,试确定a、b、c之间的关系式. 【教学说明】 教师给出习题,学生独立完成教师巡视,对学生解题过程中出现的问题及时予以指正,对有困难的学生进行点拨. 【答案】 1.(1)× x3+x3=2x3 (2) × x3·x3=x6 (3) × c·c3=c4 (4) × c+c2=c+c2 2.(1)原式=108; (2)原式=-a7; (3)原式=-x3·(-x5)=x8; (4)原式=-y9; (5)原式=x2·x3·(-x3)=-x8; (6)原式=(-y)6=y6. 3.(1)原式=an+2+n+1=a2n+3; (2)原式=(a-2b)2+3+4=(a-2b)9; (3)原式=-(n-2m)5·(n-2m)3=-(n-2m)8; (4)原式=(2x-1)m·(2x-1)2n=(2x-1)m+2n. 4.∵6n·63n-9=64n-9=216=63 ∴4n-9=3 ∴n=3 5.(1)ax+y=ax·ay=4×5=20; (2)a2x+y=ax·ax·ay=4×4×5=80. 6.∵2a=3,2b=5,2c=30 ∴2a·2b=3×5=15 ∴2·2a·2b=30.即2a+b+1=2c ∴a+b+1=c. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】 学生相互交流,回顾同底数幂的乘法的运算性质,加强对所学知识的理解和应用. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题引出同底数幂的乘法,再探究同底数幂乘法的运算性质,学生积极主动,在合作交流中体会成功的喜悦,增强学好数学的信心. 第1课时 幂的乘方 【知识与技能】 1.理解幂的乘方的运算性质. 2.运用幂的乘方的运算性质进行计算. 【过程与方法】 在探索幂的乘方运算性质的过程中,培养和发展学生学习数学的主动性,提高数学概括和表达能力. 【情感态度】 通过积极参与数学学习活动,培养学生积极探索,团结合作的学习习惯,激发学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 理解并正确运用幂的乘方的运算性质. 【教学难点】 幂的乘方运算性质的灵活运用. 一、情境导入,初步认识 问题 一个正方体的棱长为102cm,它的体积是多少呢? 【教学说明】教师提出问题后,让学生独立思考,然后相互交流.学生很容易列出算式,激发学生探索新知的欲望. 二、思考探究,获取新知 幂的乘方的运算性质. 思考:怎样计算(am)n? 先完成下表:
观察上表,发现幂的乘方有什么规律? 【教学说明】 教师提出问题,学生完成表格.相互交流,然后共同归纳幂的乘方的运算性质. 【归纳结论】 幂的乘方,底数不变,指数相乘,即(am)n=amn(m、n都是正整数). 三、典例精析,掌握新知 例1计算:
(1)(105)3;

(2)(x4)2;

(3)(-a2)3. 【解】 (1)(105)3=105×3=1015. (2)(x4)2=x4×2=x8. (3)(-a2)3=-a2×3=-a6. 例2计算:
(1)[(x-y)2]4;

(2)x3·(x2)n;

(3)(-m)3·(-m2)2;

(4)(-a5)-2·(-a2)5. 【解】 (1)原式=(x-y)8. (2)原式=x3·x2n=x2n+3. (3)原式=-m3·m4=-m7. (4)原式=a10·(-a10)=-a20. 例3 若42n=28,求n的值. 【解】∵4=22.∴42n=(22)2n=24n=28. ∴4n=8.∴n=2. 例4 若xm·x2m=3,求x9m的值. 【解】 ∵xm·x2m=x3m=3. ∴x9m=(x3m)3=33=27. 例5 已知2m=a,2n=b. 求:(1)8m+n;

(2)2m+n+22m+n. 【教学说明】学生独立自主完成,教师可让部分学生上台展示自己的答案,加深对新学知识的理解. 四、运用新知,深化理解 1.计算: (1)(106)2; (2)(-a3)4; (3)-(x3)5;(4)(-y3)2; (5)(-a3)2·(a4)3; (6)-x3·(-x2)3. 2.下面的计算对不对?应怎样改正? 3.填一填 4.已知am=3,an=4,(m、n为正整数),求a3m+2n的值. 5.已知2x=4y+1,27y=3x-1.试求x-y的值. 6.设n为正整数,且x2n=7,求(x3n)2-4(x2)2n的值. 【教学说明】教师给出习题,学生独立完成,教师巡视,对学生解题过程中出现的问题及时予以指正,对有困难的学生进行点拨. 【答案】 1.(1)原式=1012;
(2)原式=a12;

(3)原式=-x15;
(4)原式=y6;

(5)原式=a6·a12=a18;
(6)原式=-x3·(-x6)=x9. 2.(1)× (x3)2=x6. (2) × x3·x2=x5. (3)× x2·x2·x2=x2+2+2=x6.(4)× x3·x2=x5. 6.(x3n)2-4(x2)2n=(x2n)3-4(x2n)2=73-4×72=343-196=147. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】 学生相互交流,回顾幂的乘方的运算性质,加深对所学知识的理解和应用. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题引出幂的乘方,再探究幂的乘方的运算性质,学生积极主动,教师引导启发,学生合作交流,激发学生继续探索的兴趣. 第2课时 积的乘方 【知识与技能】 1.理解积的乘方的运算性质. 2.运用积的乘方运算性质进行计算. 【过程与方法】 通过探索积的乘方运算性质的过程,体会由特殊到一般的数学思想,提高观察、分析和概括的能力. 【情感态度】 调动学生参与数学活动的积极性,培养学生主动参与、合作交流的意识,通过合作交流体验成功的喜悦,激发学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 理解并正确运用积的乘方的运算性质. 【教学难点】 积的乘方运算性质的灵活运用. 一、情境导入,初步认识 问题:一个正方体的棱长为2×102cm. (1)它的表面积是多少? (2)它的体积是多少? 【教学说明】 教师提问题,学生独立思考,然后分小组讨论.学生很容易根据表面积、体积计算公式列出式子,激发学生探求新知的欲望. 二、思考探究,获取新知 思考:怎样计算(ab)2·(ab)3·(ab)4? 探究:一般地,如果字母n是正整数,那么 【教学说明】 教师提出问题,学生自主完成,相互交流,然后共同归纳积的乘方的运算性质. 【归纳结论】 积的乘方等于各因式乘方的积.即(ab)n=anbn(n是正整数). 三、典例精析,掌握新知 例2 的体积公式是V=4/3πr3(r为球的半径).已知地球半径约为6.4×103km,求地球的体积(π取3.14). 因而,地球的体积约为1.1×1012km3. 例3计算:
(2)0.12520×(220)3. (2)原式=0.12520×(23)20=(0.125×23)20=1. 例4(1)当ab=1/2,m=2,n=3时,求(ambm)n的值. (2)已知a3=5,b2=6,求a6b4的值. 【解】 (1)(ambm)n=[(ab)m]n=1223=126=164. (2)a6b4=(a3b2)2=(5×6)2=302=900. 【教学说明】 教师给出例题,学生独立自主完成,教师可让部分学生上台展示自己的答案加深对所学知识的理解. 四、运用新知,深化理解 1.计算:
(1)(2×103)3; (2)(-3×104)2. 2.计算:
(1)(3m)2; (2)(-2a3b2c)2. 3.下面的计算对不对?如果不对,应怎样改正? 4.球的表面积公式为S=4/3πr2,已知地球半径约为6.4×103km,求地球的表面积。(π取3.14). 5.计算:
7.已知2x+3·3x+3=36x-2.求x的值. 8.(1)已知ax=4,bx=5.求(ab)2x的值. (2)已知xn=2,yn=3.求(x2y)2n的值. 【教学说明】 教师给出习题,学生独立完成,教师巡视.选取3~4名同学上台在黑板上演算,教师适时给予点评,进一步提高学生综合运用所学知识的能力. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】 学生回顾积的乘方的运算性质,并大胆发言,积极与同伴交流,进行知识的提炼和归纳,加深对知识的理解. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题引出积的乘方,再探究积的乘方的运算性质,有意识地引导学生参与到数学活动中,培养学生合作交流的学习习惯,激发学生继续探索新知的兴趣. 第1课时 同底数幂的除法 【知识与技能】 1.理解同底数幂的除法的运算性质. 2.运用同底数幂的除法的运算性质进行计算. 【过程与方法】 通过探索同底数幂的除法运算性质的过程,体会由特殊到一般、类比等数学思想方法,提高观察、分析和概括的能力. 【情感态度】 通过参与数学学习活动,培养学生积极探索,合作交流的意识,提高学习数学的兴趣. 【教学重点】 理解并正确运用同底数幂的除法运算性质. 【教学难点】 同底数幂的除法运算性质的灵活运用. 一、情境导入,初步认识 问题一个长方形的面积为106平方米,长为104米.它的宽为多少米? 【教学说明】 教师提出问题,学生很容易列出算式,然后相互交流,激发学生探求新知识的欲望. 二、思考探究,获取新知 同底数幂的除法运算性质思考:怎样计算am÷an? 先完成下表:
观察上表,发现同底数幂相除有什么规律? 探索:一般地,如果字母m,n都是正整数(m>n),那么 am÷an=_________=_________. 【教学说明】教师提出问题,学生完成表格,然后相互交流,共同归纳同底数幂的除法的运算性质. 【归纳结论】 同底数幂相除,底数不变,指数相减,即am÷an=am-n(a≠0,m、n都是正整数,且m>n). 三、典例精析,掌握新知 例1下列计算错误的是( )
A.x4÷x2=x2 B.(-x)5÷(-x)3=x2 C.(x-y)5÷(y-x)3=(x-y)2 D.(xy)3÷(xy2)=x2y4 【分析】C中被除式与除式的底数不相同,不能直接进行计算.(x-y)5÷(y-x)3=(x-y)5÷[-(x-y)3]=-(x-y)2,故选C. 例2计算:
(1)x15÷x6;

(2)(-xy)14÷(-xy)9;

(3)a2m+4÷am-2;

(4)(x-2y)5÷(2y-x)2. 【解】 (1)原式=x9. (2)原式=(-xy)5=-x5y5. (3)原式=am+6. (4)原式=(x-2y)5÷(x-2y)2=(x-2y)3. 例3(1)已知am=3,an=5,求a4m-3n的值. (2)已知10a=20,10b=1/5,求3a÷3b的值. 【教学说明】 学生独立自主完成,教师可让部分学生上台展示自己的答案,交流各自的心得,积累解决问题的经验. 四、运用新知,深化理解 1.计算:
(1)a10÷a5; (2)(-xy)3÷(-xy); (3)(a-b)5÷(b-a)4; (4)(ym)2÷ym. 2.下面的计算对不对?如果不对,应怎样改正? 3.已知10x=14,10y=49.求102x-y的值. 4.(1)已知812m÷92m÷3m=27,求m的值. (2)已知am·an=a6,am÷an=a2,求mn的值. 5.已知3x=4,3y=6,求92x-y+27x-y的值. 【教学说明】 教师给出习题,学生独立完成,教师巡视,对学生解题过程中出现的问题及时予以指正,对有困难的学生进行点拨. 【答案】 1.(1)原式=a5; (2)原式=(-xy)2=x2y2; (3)原式=(a-b)5÷(a-b)4=a-b; (4)原式=y2m÷ym=ym. 2.(1)× a10÷a2=a8 (2)√ 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】 学生相互交流,回顾同底数幂的除法的运算性质,加深对所学知识的理解. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题引出同底数幂的除法,再探究同底数幂的除法的运算性质,使学生积极主动参与到学习中来. 第2课时 负整数次幂及其应用 【知识与技能】 1.了解零指数幂和负整数指数幂的意义.会进行化简或计算. 2.会用科学记数法表示绝对值小于1的数. 【过程与方法】 经历探索零指数幂和负整数指数幂的运算性质的过程,体会由特殊到一般、类比等数学思想方法,提高观察、分析和归纳的能力. 【情感态度】 通过参与数学学习活动,让学生在独立思考的基础上,积极参与数学问题的讨论,增强合作交流意识,积累解决问题的经验. 【教学重点】 零指数幂和负整数指数幂的运算顺序及科学记数法. 【教学难点】 零指数幂和负整数指数幂的运算性质的探究过程. 一、情境导入,初步认识 问题正方体甲的体积为103cm3,正方体乙的体积为105cm3,正方体甲的体积是正方体乙体积的几分之几? 【教学说明】 教师提出问题,学生很容易列出算式,初步感受被除式的指数小于或等于除式的指数这种情形的存在,激发学生探求新知识的欲望. 二、思考探究,获取新知 1.零指数幂和负整数指数幂. 探究:我们已经得到了当m>n时,am÷an(a≠0)的运算法则,那么当m≤n(m,n都是正整数)时,am÷an(a≠0)又如何计算呢? (1)当被除式的指数等于除式的指数(即m=n)时,例如, 33÷33,108÷108,an÷an. 容易看出所得的商都是1,另一方面,仿照同底数幂的除法性质进行计算,得 (2)当被除式的指数小于除式的指数(即m<n)时,例如:32÷35,104÷108,am÷an. 那么可以通过分数约分,得 另一方面,仿照同底数幂的除法性质进行计算,得 (3)观察上面的式子,你有什么发现呢? 【教学说明】 教师提出问题,学生思考分析、相互交流,通过观察两种计算方法,归纳零指数幂和负整数指数幂的运算性质. 【归纳结论】 任何一个不等于零的数的零次幂都等于1,即a0=1(a≠0);任何一个不等于零的数的-p(p是正整数)次幂,等于这个数的p次幂的倒数,即a-p=1/ap(a≠0,p是正整数). 注意:再遇到计算am÷an时,就不必限制m>n,且正整数次幂的运算性质同样适合于零次幂和负整数次幂. 2.用科学记数法表示较小的数.问题:前面我们学过用科学记数法表示一些绝对值大于10的数,例如228000可记作 2.28×106.那么,绝对值小于1的数如何表示呢? 观察:
【教学说明】 教师提出问题,学生思考分析、相互交流,归纳用科学记数法表示较小数的方法. 【归纳结论】 绝对值小于1的数可记作a×10-n的表达式,其中1≤a<10,n是正整数,n等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零),这种记数方法叫作科学记数法. 三、典例精析,掌握新知 例1计算:
例2用科学记数法表示下列各数:
(1)0.00076; (2)-0.000001.59. 【解】 (1)0.00076=7.6×0.0001=7.6×10-4. (2)-0.00000159=-1.59×0.000001=-1.59×10-6. 【教学说明】学生独立自主完成,教师选取部分学生上台展示自己的答案,加深对新学知识的理解和运用. 四、运用新知,深化理解 1.计算:
2.计算: (1)(-x)10÷(-x)7; (2)(-m)5÷(-m)9; (3)4m+2÷4m-2;(4)(xy)5÷(-xy)2; (5)(-2xy)5÷(-2xy)5. 3.用分数或小数表示下列各数: 4.用科学记数法表示下列各数:
0.0602,-0.00602,0.0000602,53.8,-34000 5.水是由氢、氧两种元素组成的,1个氢原子的质量为1.674×10-27kg,1个氧原子的质量为2.657×10-26kg,1个氢原子与1个氧原子的质量哪个大? 【教学说明】教师给出习题,学生独立自主完成,教师巡视,对有问题的学生及时予以指正.教师也可选取几个学生上台在黑板上演算,然后给予点评. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】 学生相互交流,回顾零指数幂和负整数指数幂的运算性质,以及用科学记数法表示较小数的方法,进行知识的提炼和归纳. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题引出零次幂和负整数次幂,再探究它们的运算性质,学生积极主动,体验应用知识的成就感,增强学好数学的信心. 8.2 整式乘法 1.单项式与单项式相乘 第1课时 单项式与单项式相乘 【知识与技能】 1.了解单项式与单项式相乘的计算法则. 2.运用单项式与单项式相乘的计算法则进行计算. 【过程与方法】 从实际问题引出单项式与单项式的乘法,感受数学与现实世界的紧密联系,体会转化的数学思想,培养观察、分析和概括的能力. 【情感态度】 有意识地引导学生在积极参与数学活动过程中,培养学生观察、归纳能力,通过合作交流,体验成功的喜悦,增强学生学习数学的自信心. 【教学重点】 单项式与单项式乘法法则. 【教学难点】 运用单项式与单项式的乘法法则进行计算. 一、情境导入,初步认识 问题光的速度大约是3×105km/s,从太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光,需要4年才能到达地球,1年以3×107s计算,试问地球与这颗恒星的距离约为多少千米? 【教学说明】教师提出问题,学生很容易列出算式,初步感受单项式乘以单项式,激发继续探求新知的兴趣. 二、思考探究,获取新知 单项式的乘法法则问题地球与比邻星的距离应是(3×105)×(4×3×107)km,这个式子应如何计算呢? 观察:
(3×105)×(4×3×107)=4×3×3×105×107=4×32×1012=3.6×1013(km). 因而,地球与这颗恒星的距离约为3.6×1013km. 交流:1.上面的运算应用了哪些性质? 2.如果把上面算式中的数字换成字母,例如bc5×abc3,该如何计算呢? 3.完成下面计算:
从以上的计算过程中,你能归纳出单项式乘法的法则吗? 【教学说明】 教师提出问题,学生观察、分析、思考,完成“交流”第3问的计算,再相互交流各自的心得,然后共同归纳单项式的乘法法则.单项式的乘法法则:单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式;
对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. 三、典例精析,掌握新知 . 例2计算:
例3 已知-2x3m+1y2n与4xn-6y-3-m的积与-x4y是同类项,求m、n的值. 【教学说明】教师给出例题,学生独立自主完成,教师可让几个学生上台在黑板上演算,然后给予点评. 四、运用新知,深化理解 1.计算:
. 2.计算:
3.“勇气”号探测器于北京时间2004年1月4日在火星上成功登陆.“勇气”号探测器是按第二宇宙速度(11.2km/s)飞行了6个月后到达火星的,此时,它飞行了多少千米?(1个月按30天计算)
4.小红家新购了一套结构如图的住房,正准备装修. (1)用代数式表示这套住房的总面积. (2)若x=2.5m,y=3m,装修这套房子多少需要多少平方米的地板砖? 【教学说明】 教师给出习题,学生独立完成,教师巡视,对学生解题过程中出现的问题及时予以指正,对有困难的学生进行点拨. 【答案】 1.(1)原式=6x5;

五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】 学生相互交流,回顾单项式的乘法法则,加深对新知识的理解和运用. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题引出单项式与单项式的乘法,再探究单项式的乘法法则.教师引导启发,学生合作交流,培养学生学习的积极性,从教学成果看,学生的计算能力还有待加强. 第2课时 单项式除以单项式 【知识与技能】 1.理解单项式除以单项式的计算法则. 2.能运用单项式除以单项式的计算法则进行计算. 【过程与方法】 通过探索单项式除以单项式计算法则的过程,体会转化的数学思想,培养观察、分析、概括的能力. 【情感态度】 通过参与数学学习活动,让学生在独立思考的基础上,积极参与数学问题的讨论,增强合作交流意识,积累解决问题的经验. 【教学重点】 理解并正确运用单项式除以单项式的计算法则. 【教学难点】 熟练地运用单项式除以单项式的计算法则进行计算. 一、情境导入,初步认识 问题一个长方形的面积为15a4b3x2平方米.它的宽为3a2b3米,长为多少米呢? 【教学说明】 教师提出问题,学生很容易列出算式,初步感受单项式除以单项式,激发学生探求新知识的欲望. 二、思考探究,获取新知 单项式的除法法则思考怎样计算15a4b3x2÷3a2b3?探究:我们知道,计算15a4b3x2÷3a2b3,就是要求一个单项式,使它与3a2b3相乘的积等于15a4b3x2.因为(5a2x2)·(3a2b3)= 15a4b3x2 2.所以15a4b3x2÷3a2b3=5a2x2. 分析所得式子,能得到什么规律? 【教学说明】 教师提出问题,学生观察、分析、思考,很容易从除法与乘法的互逆关系中找到答案.然后相互交流各自的心得,最后共同归纳单项式的除法法则. 【归纳结论】 单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式;
对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式. 三、典例精析,掌握新知 例1计算:
(1)32x5y3÷8x3y;
(2)-7a8b4c2÷49a7b4. 例2“卡西尼”号土星深测器历经7年多,行程约3.5×109km后进入环绕土星运行的轨道. (1)它的这一行程相当于地球赤道多少圈?(已知地球半径约6.4×103km,π取3.14)
(2)这一行程如果由速度是100km/h的汽车来完成,需要行驶多少年?(1年按365天计算)
(3)这一行程如果由速度是10m/s的短跑飞人来完成,需要跑多少年? 【解】 (1)3.5×109÷(2×3.14×6.4×103)≈8.7×104(圈).探测器的行程相当于地球赤道约87000圈. (2)3.5×109÷(365×24×100)=4.0×103(年).探测器的行程相当于由速度为100 km/h的汽车行驶约4000年. (3)3.5×109÷(365×24×3.6×103×10×10-3)≈1.1×104(年).探测器的行程相当于由速度为10m/s的短跑飞人跑约11000年. 例3 小刚在计算一个单项式除以单项式1/3x的时候,不小心当成是乘以1/3x,结果得到2x5y2.(你能求出正确的结果吗?)
例4计算:
【教学说明】教师给出例题,学生独立完成,教师可选取几个同学上台展示自己的答案,然后给予点评. 四、运用新知,深化理解 1.计算:
2.计算:
3.经天文学家测算,太阳系外离地于最近的一颗恒星距离地球4.08×1013km,已知光速是3×105km/s,那么这颗恒星发出的光要多长时间到达地球? 4.若x6ym÷x2ny3÷xy2的商与3x3y3是同类项,求mn的值. 5.先化简,再求值:1/2a8b9c5÷(-6a2b4c3)÷3a3b2c2,其中ab=-2. 【教学说明】 教师给出习题,学生独立完成,教师巡视,也可选取几个同学上台在黑板上演算,对学生解题过程中出现的问题及时予以指正. 【答案】 1.(1)原式=-3b2;

(2)原式=-5/3ab;

(3)原式=2a;

(4)原式=(9÷3)·(108÷105)=3×103. 五、师生互动,课堂小结 通过这节能课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】 学生相互交流,回顾单项式的除法法则,加深对所学知识的理解 完成练习册中本课时练习. 从实际问题引出单项式与单项式的除法,再探究单项式的除法法则,学生积极主动,教师引导启发,学生合作交流,享受运用知识解决问题的成就感,激发继续探究新知的兴趣. 2.单项式与多项式相乘 第1课时 单项式与多项式相乘 【知识与技能】 1.理解单项式与多项式的乘法法则. 2.能运用单项式与多项式的乘法法则进行计算. 【过程与方法】 从实际问题引出单项式乘以多项式,探索单项式乘以多项式的计算法则,体会转化思想和数形结合思想. 【情感态度】 通过参与数学活动,培养学生独立思考及与他人合作交流的学习习惯,提高学习数学的兴趣. 【教学重点】 单项式与多项式的乘法法则. 【教学难点】 准确地运用单项式与多项式的乘法法则进行计算. 一、情境导入,初步认识 问题 一个施工队修筑一条路面宽为nm的公路,第一天修筑am长,第二天修筑bm长,第三天修筑cm长,3天共修筑路面的面积是多少? 【教学说明】教师提出问题,让学生独立思考,然后相互交流.学生很容易列出算式,初步感受单项式乘以多项式,激发学生探索新知的欲望. 二、思考探究,获取新知 单项式与多项式的乘法法则 问题 先按题意画图,结合图形考虑有几种计算方法? 方法一:3天共修筑路面的总长为(a+b+c)m.因为路面的宽为nm,所以3天共修筑路面____m2. 方法二:先分别计算每天修筑路面的面积,然后相加,则3天共修筑路面____m2.因此,有____=____m2. 【教学说明】 教师提出问题,学生尝试独立完成,再相互交流,最后共同归纳单项式与多项式的乘法法则. 【归纳结论】 单项式与多项式的乘法法则:单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加. 三、典例精析,掌握新知 例1下列计算正确的是( )
【分析】根据单项式与多项式的乘法法则逐一进地计算,单项式乘以多项式,积的项数与多项式的项数是相同的,∴选D. 例2计算:(1)(-2x)(x2-x+1); (2)a(a2+a)-a2(a-2). 【解】 (1)(-2x)(x2-x+1) =(-2x)x2+(-2x)·(-x)+(-2x)·1 =-2x3+2x2-2x. (2)a(a2+a)-a2(a-2) =a·a2+a·a-a2·a+2a2 =a3+a2-a3+2a2 =3a2. 例3已知2x-3=0,求代数式x(x2+x)+x2(5-x)-9的值. 2.例4设n为自然数,试说明n(2n+1)-2n(n-1)的值一定是3的倍数. 【解】n(2n+1)-2n(n-1)=2n2+n-2n2+2n=3n ∵n是自然数, ∴3n是3的倍数.即n(2n+1)-2n(n-1)一定是3的倍数. 【教学说明】 学生独立自主完成,教师选取部分学生上台展示自己的答案,交流各自的心得,积累解决问题的经验. 四、运用新知,深化理解 2.计算:
3.化简: 4.某长方体的长为a+1,宽为a,高为3,问:这个长方体的体积是多少? 5.当x为何值时,3(x2-2x+1)与x(3x-4)的差等于5? 6.要使x(x2+a+3)=x(x2+5)+2(b+2)成立,则常数a,b的值分别为多少? 【教学说明】 教师给出习题,学生独立自主完成,教师巡视,对有问题的学生及时予以指正,教师也可选取几个学生上台在黑板上演算,然后给予点评. 【答案】 1.D 2. (1)原式=15x2+20x;

(2)原式=-15a3+4a2-3a. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】 学生相互交流,回顾单项式与多项式的乘法法则,加深对所学知识的理解和应用. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题引出单项式与多项式的乘法,再探究单项式与多项式的乘法法则,学生积极主动体验应用知识的成就感,增强学好数学的信心. 第2课时 多项式除以单项式 【知识与技能】 1.理解多项式除以单项式的运算法则. 2.能运用多项式除以单项式的运算法则进行计算. 【过程与方法】 通过探索多项式除以单项式运算法则的过程,体会转化思想的应用,培养观察、分析、概括能力. 【情感态度】 让学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论,享受运用知识解决问题的成功体验,增强学好数学的自信心. 【教学重点】 理解并运用多项式除以单项式的计算法则. 【教学难点】 熟练地运用多项式除以单项式的计算法则进行计算. 一、情境导入,初步认识 问题一个长方形的面积为am+bm-cm,它的宽为m,长为多少呢? 【教学说明】教师提出问题,学生分析、思考,很容易列出式子,激发探求新知的兴趣. 二、思考探究,获取新知 多项式除以单项式的计算法则 思考:如何计算(a+b-c)÷m? 根据a÷b=a×1/b,可把除法转化为乘法,由此得到 (a+b-c)÷m=(a+b-c)×1/m=a×1/m+b×1/m-c×1/m=a÷m+b÷m-c÷m. 【教学说明】教师提出问题,学生思考、分析,类比有理数除法的计算法则,进行转化.学生相互交流,讨论,再共同归纳多项式除以单项式的计算法则. 【归纳结论】多项式除以单项式的计算法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. 三、典例精析,掌握新知 例1计算(6x4+5x2-3x)÷(-3x)的结果是()
A.2x3+5x-3 B.2x3-5x+3 C.-2x3-5/3x+1 D.2x3-5/3x+1 【分析】按多项式除以单项式的计算法则进行计算.故选C. 例2 甲、乙两同学做游戏,两人各报一个整式,甲报被除式,乙报除式,要求商式是3ab.若甲报的是a3b2-3a2b.则乙报的除式为_______. 【分析】由题意得,除式为:(a3b2-3a2b)÷3ab=1/3a2b-a.故填1/3a3b-a. 例3计算: (1)(20a2-4a)÷4a; (2)(24x2y-12xy2+8xy)÷(-6xy); (3)[(a+b)2-(a-b)2]÷2ab. 【解】(1)(20a2-4a)÷4a =20a2÷4a-4a÷4a =5a-1. (2)(24x2y-12xy2+8xy)÷(-6xy) =24x2y÷(-6xy)-12xy2÷(-6xy)+8xy÷(-6xy) =-4x+2y-4/3. (3)[(a+b)2-(a-b)2]÷2ab =[(a2+2ab+b2)-(a2-2ab+b2)]÷2ab =4ab÷2ab =2. 例4先化简,再求值:(4ab3-8a2b2)÷4ab+(2a3b4-8a5b2)÷(-2a3b2),其中a=2,b=1. 【解】原式=b2-2ab-b2+4a2 =4a2-2ab 当a=2,b=1时,原式=4×22-2×2×1=16-4=12. 【教学说明】教师给出例题,学生尝试独立完成.教师选取部分学生上台展示自己的答案,交流各自的心得,积累解决问题的经验. 四、运用新知,深化理解 1.下列运算中,错误的是( ) A.(6a3+2a2)÷1/2a=12a2+4a B.(6a3-4a2+2a)÷2a=3a2-2a C.(9a7-3a3)÷-1/3a3=-27a4+9 D.1/4a2+a÷-1/2a=-1/2a-2 2.计算: (1)(6a2b+3a)÷a; (2)(4x3y2-x2y2)÷(-2x2y); (3)(20m4n3-12m3n2+3m2n)÷(-4m2n); (4)[(2a+b)·b-b2]÷a. 3.如图所示的长方形面积为a2-2ab+3a,宽为2a,求这个长方形的周长. 4.对任意实数n,按下列程序计算,输出的答案是多少呢? 5.先化简,再求值. [2x(x2y-xy2)+xy(xy-x2)]÷x2y.其中x=2014,y=2015. 6.已知多项式-15x4+3x2+x+2除以3x2,余式为x+2,求商式. 【教学说明】教师给出习题,学生独立自主完成.教师巡视,对学生解题过程中出现的问题及时予以指正,对有困难的学生进行点拨. 【答案】1.B 2.(1)原式=6ab+3;

(2)原式=-2xy+1/2y;

(3)原式=-5m2n2+3mn-3/4;

(4)原式=(2ab+b2-b2)÷a=2ab÷a=2b. 3.长方形的长为:(a2-2ab+3a)÷2a=1/2a-b+3/2 长方形的周长为:2(1/2a-b+3/2+2a) =a-2b+3+4a =5a-2b+3 4.由题意得:(n3+n2)÷n-n =n2+n-n=n2 ∴答案为n2. 5.原式=(2x3y-2x2y2+x2y2-x3y)÷x2y =(x3y-x2y2)÷x2y=x-y 当x=2014.y=2015时, 原式=2014-2015=-1. 6.商式为:[15x4+3x2+x+2-(x+2)]÷3x2 =(-15x4+3x2+x+2-x-2)÷3x2 =(-15x4+3x2)÷3x2 =-5x2+1. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,运用多项式除以单项式的计算法则,加深对所学知识的理解. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题引出多项式除以单项式,再探究多项式除以单项式的计算法则,从而提高学生学习的积极性.回顾整节课,发现学生的计算能力还有待进一步提高. 3.多项式与多项式相乘 【知识与技能】 1.理解多项式与多项式的乘法法则. 2.能运用多项式与多项式的乘法法则进行计算. 【过程与方法】 从实际问题引出多项式乘以多项式,通过探索多项式乘以多项式的计算法则,进一步体会转化思想和数形结合思想. 【情感态度】 有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中,培养学生观察、归纳的能力,通过合作交流,体验成功的喜悦. 【教学重点】 多项式与多项式相乘的计算法则. 【教学难点】 熟练地运用多项式与多项式相乘的计算法则进行计算. 一、情境导入,初步认识 问题 一块长方形的菜地,长为a,宽为m,现将它的长增加b,宽增加n,求扩大后的菜地面积. 【教学说明】教师提问题,让学生独立思考,尝试画出图形进行分析,进一步体会数形结合思想. 二、思考探究,获取新知 多项式与多项式的乘法法则探究:先按题意画图,结合图形考虑有几种计算方法? 方法一:扩大后菜地的长是a+b,宽是m+n,所以它的面积是________. 方法二:先算4块小长方形的面积,再求总面积,扩大后菜地的面积是________. 【教学说明】学生尝试画出图形,然后根据图形列出算式,进一步体会数形结合思想. 由方法一、二可得(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn.上面的运算还可以把(a+b)看作一个整体运用分配律,再根据单项式与多项式的乘法法则,得 (a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n =am+bm+an+bn. (a+b)(m+n)=am+bm+am+bn. 【归纳结论】 多项式与多项式的乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加. 三、典例精析,掌握新知 例1计算:
(1)(-2x-1)(3x-2); (2)(ax+b)(cx+d). 【解】(1) (-2x-1)(3x-2) =(-2x)·3x+(-2x)·(-2)+(-1)·3x+(-1)×(-2) =-6x2+4x-3x+2 =-6x2+x+2. (2)(ax+b)(cx+d) =ax·cx+ax·d+b·cx+bd =acx2+(ad+bc)x+bd. 例2 计算:(1)(a+b)(a2-ab+b2); (2)(y2+y+1)(y+2). 【解】(1)(a+b)(a2-ab+b2) =a·a2-a·ab+a·b2+b·a2-b·ab+b·b2 =a3+b3. (2)(y2+y+1)(y+2) =y3+2y2+y2+2y+y+2 =y3+3y2+3y+2. 例3在(ax+3y)与(x-y)的积中,不含有xy项,求a2+3a-1的值. 【解】(ax+3y)(x-y) =ax2-axy+3xy-3y2 =ax2+(3-a)xy-2y2 由题意得:3-a=0 ∴a=3. ∴a2+3a-1=32+3×3-1=17. 【教学说明】 教师给出例题,学生独立自主完成,教师可让几个学生上台在黑板上演算,然后给予点评. 四、运用新知,深化理解 1.下列各式计算正确的是( )
A.(x+5)(x-5)=x2-10x+25 B.(2x+3)(x-3)=2x2-9 C.(3x+2)(3x-1)=9x2+3x-2 D.(x-1)(x+7)=x2-6x-7 2.计算: (1)(2n+6)(n-3); (2)(3x-y)(3x+y); (3)(3a-2)(a-1)+(a+1)(a+2); (4)(3a+2)(3a-2)-9a(a-1); (5)(x-y)(x2+xy+y2); (6)(x+1)(x2-2x+3). 3.先化简,再求值:(x-2y)(x+3y)-(2x-y)(x-4y)其中x=-1,y=2. 4.已知x2-5x-14=0,求(x-1)(2x-1)-(x-2)(x+4)的值. 5.已知多项式(x2+ax+b)与(x2-2x-3)的乘积中不含x3与x2的项,求a,b的值. 【教学说明】 教师给出习题,学生独立完成.教师巡视,对学生解题过程中出现的问题及时予以指正,对解题有困难的学生给予点拨. 【答案】 1.C 2.(1)原式=2n2-6n+6n-18=2n2-18 (2)原式=9x2+3xy-3xy-y2=9x2-y2 (3)原式=3a2-3a-2a+2+a2+2a+a+2=4a2-2a+4 (4)原式=9a2-6a+6a-4-9a2+9a=9a-4 (5)原式=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3 (6)原式=x3-2x2+3x+x2-2x+3=x3-x2+x+3 ∴上式=14+9=23. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】 学生相互交流,回顾多项式与多项式的乘法法则,加深对新知识的理解. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题引出多项式与多项式的乘法,再探究多项式与多项式的乘法法则,然后运用新知识解决问题,激发学生的积极性. 8.3 完全平方公式与平方差公式 第1课时 完全平方公式 【知识与技能】 1.理解完全平方公式,掌握公式的结构特征. 2.能熟练地运用公式进行计算. 【过程与方法】 在掌握和运用完全平方公式的过程中,体会转化思想和数形结合思想,培养观察、分析、概括能力. 【情感态度】 让学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论、享受运用知识解决问题的成功体验,激发学习数学的兴趣. 【教学重点】 理解完全平方公式,掌握公式的结构特征. 【教学难点】 灵活运用完全平方公式进行计算. 一、情境导入,初步认识 问题大正方形的边长为(a+b),小正方形的边长为(a-b),这两个正方形的面积分别是多少? 【教学说明】 教师提出问题,让学生独立思考.学生很容易列出算式,初步感受完全平方公式,激发学生探索新知的欲望. 二、思考探究,获取新知 完全平方公式 问题 运用多项式与多项式的乘法法则计算(a+b)2,(a-b)2的结果是多少? 【教学说明】 教师提出问题,学生根据多项式与多项式的乘法法则进行计算,然后相互交流,进一步感受完全平方公式,掌握完全平方公式的结构特征. 【归纳结论】 两个数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍,即:(a±b)2=a2±2ab+b 2.观察:完全平方公式,除了直接由乘法得到,你还可通过图形面积割补的方法得到吗? (a+b)2=a2+2ab+( )
图(1) (a-b)2=a2-( )+b2 图(2)
【教学说明】 学生通过观察、分析、思考,再相互交流,进一步体会数形结合的思想. 三、典例精析,掌握新知 例1利用完全平方公式计算:
(1)(2x+y)2; (2)(3a-2b) 2.【解】运用公式计算,要先识别a,b在具体式子中分别表示什么. 例2利用完全平方公式简算. (1)1012;(2)9982. 【解】(1)1012=(100+1)2=1002+2×100×1+12=10000+200+1=10201 (2)9982=(1000-2)2=10002-2×1000×2+22=1000000-4000+4=996004 例3已知a2+b2=25.且ab=12,求a+b的值. 【解】(a+b)2=a2+2ab+b2=25+2×12=49. ∴a+b=±7. 【教学说明】教师给出例题,学生尝试独立完成,教师可让几个学生上台展示自己的答案,交流各自的心得,积累解决问题的经验. 四、运用新知,深化理解 1.利用乘法公式计算:
(1)(3x+1)2; (2) (a-3b)2; (3)(2x+y/2)2; (4)(-2x+3y)2. 2.利用完全平方公式简算: (1)992;

(2) 1022. 3.如图,是一张正方形的纸片,如果把它沿着各边都剪去3cm宽的一条,那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少84cm2,求原正方形的边长. 4.化简求值:(2x+1)(x-2)-(x-1)2+5.其中x=-5. 5.已知a(a-3)-(a2-3b)=9,求(a2+b2)/2-ab的值. 6.已知a+b=10,ab=21,求下列各式的值. (1)a2+b2;

(2) (a-b)2. 【教学说明】教师给出习题,学生独立自主完成,教师巡视,对学生解题过程中出现的问题及时予以指正,对解题有困难的学生给予点拨. 【答案】 1.(1)原式=9x2+6x+1;

(2)原式=a2-6ab+9b2;

(3)原式=4x2+2xy+1/4y2;

(4)原式=4x2-12xy+9y2. 2.(1)992=(100-1)2=1002-2×100×1+1=10000-200+1=9801 (2)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+4=10000+400+4=10404. 3.设原正方形的边长为xcm.则x2-(x-6)2=84. 化简得:12x-36=84. 解得:x=10. ∴原正方形的边长为10cm. 4.(2x+1)(x-2)-(x-1)2+5 =2x2-4x+x-2-x2+2x-1+5 =x2-x+2 当x=-5时,上式=(-5)2-(-5)+2=25+5+2=32. 6.(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=102-2×21=100-42=58. (2)(a-b)2=a2-2ab+b2=58-2×21=16. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】 学生相互交流,回顾完全平方公式,加深对所学知识的理解和运用. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题引出完全平方公式,到运用完全平方公式,学生积极主动参与教学活动,体验应用知识的成就感,增强学好数学的信心. 第2课时 平方差公式 【知识与技能】 1.理解平方差公式,掌握公式的结构特征. 2.熟练运用平方差公式进行计算. 3.综合运用乘法公式进行计算. 【过程与方法】 有意识地引导学生积极参与到平方差公式的探究过程中,培养学生观察、分析、归纳的能力,进一步体会转化思想和数形结合思想. 【情感态度】 通过参与数学活动,培养学生独立思考及与他人合作交流的学习习惯,体验运用知识解决问题的喜悦,激发学习数学的兴趣. 【教学重点】 理解平方差公式,掌握公式的结构特征. 【教学难点】 灵活运用乘法公式进行计算. 一、情境导入,初步认识 问题一个长方形,长为(a+b),宽为(a-b),它的面积是多少? 【教学说明】教师提出问题,让学生独立思考.学生很容易列出算式,初步感受平方差公式,激发学生探索新知的欲望. 二、思考探究,获取新知 平方差公式 思考:1.由多项式乘法计算:
(1)(3m+1)(3m-1); (2)(x2+y)(x2-y). 2.你能得到(a+b)(a-b)的计算公式吗? 【教学说明】教师提出问题,学生根据多项式与多项式的乘法法则进行计算,然后相互交流,进一步感受平方差公式,掌握平方差公式的结构特征. 【归纳结论】两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差,即(a+b)(a-b)=a2-b 2.思考:你能设计一个图形来说明上面的公式吗? 【教学说明】教师提出问题,学生尝试画出图形,进一步体会数形结合的思想. 三、典例精析,掌握新知 例1计算:
(1)(3a+b)(3a-b);

(2)(-x+2y)(-x-2y). 【解】(1)原式=(3a)2-b2=9a2-b2;

(2)原式=(-x)2-(2y)2=x2-4y2. 例2利用乘法公式计算:
(1)1999×2001; (2)(x+3)(x-3)(x2+9). 【解】(1)1999×2001=(2000-1)×(2000+1)=20002-12=3999999. (2)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81. 例3计算:(1)(a+b+c)2; (2)(a-b)3. 【解】(1)(a+b+c)2 =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. (2)(a-b)3=(a-b)(a-b)2 =(a-b)(a2-2ab+b2) =a3-2a2b+ab2-a2b+2ab2-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3. 例4观察下列各式:
(x-1)(x+1)=x2-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1 (1)根据上面各式的规律得:(x-1)(xn-1+xn-2+xn-3+…+x+1)=_______(其中n为正整数);

(2)根据这一规律计算:1+2+22+23+…+210. 【解】(1)xn-1. (2)∵(x-1)(1+x+x2+x3+…+xn-2+xn-1)=xn-1 ∴1+x+x2+x3+…+xn-2+xn-1=(xn-1)÷(x-1) ∴1+2+22+23+…+210=(210-1)÷(2-1)=210-1. 【教学说明】教师给出例题,学生尝试独立完成,教师可让几个学生上台在黑板上演算,然后给予点评,对于例3、例4,教师也可给予适当点拨. 四、运用新知,深化理解 1.下列计算正确的是( )
A.(a-4)(a+4)=a2-4 B.(2x-3)(2x+3)=2x2-9 C.(4xy+1)(4xy-1)=16x2y2-1 D.(-a+3)(a-3)=a2-9 2.利用乘法公式计算:
(1)(2a+5b)(2a-5b); (2) (1/2x-3)(1/2x+3); (3)(y-2x)(-2x-y); (4)(xy+1)(xy-1). 3.利用平方差公式计算:
(1)598×602; (2) 9992. 4.计算:
(1)(a+b)3;

(2) (x-5)3;

(3)(a-b-c)2. 5.已知x2-4x-1=0.求代数式(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值. 6.观察下列式子:
32-12=8 52-32=16 72-52=24 92-72=32…… (1)根据以上式子的特点,试用含有n的等式表示上述规律. (2)验证你发现的规律. 【教学说明】教师给出习题,学生独立完成,教师巡视,对有问题的学生及时予以指正,教师也可让几个学生上台展示自己的答案. 【答案】 1.C 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】 学生相互交流,回顾乘法公式,加强对新知识的理解和运用. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题引出平方差公式,再运用平方差公式进行计算,最后灵活运用乘法公式,体验应用乘法公式解决问题的成就感,增强学好数学的信心.但在教学中发现计算上还存在问题,在后面的学习中还应加强训练. 8.4 因式分解 1.提公因式法 【知识与技能】 1.了解因式分解的概念,理解因式分解与整式乘法之间的互逆关系. 2.能正确地找出多项式的公因式,整体运用提公因式法分解简单的多项式. 【过程与方法】 从了解因式分解的概念,到运用提公因式法分解因式,在数学活动过程中,培养学生的观察、分析、归纳能力. 【情感态度】 有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中来,培养学生独立思考及与他人合作交流的学习习惯,体验运用知识解决问题的喜悦. 【教学重点】 熟练运用提公因式法分解简单的多项式. 【教学难点】 正确找出多项式的公因式. 一、情境导入,初步认识 问题:在小学,我们学过整数的因数分解,例如:
6=2×3 30=2×3×5. 类似地,在整式中,能否把一个多项式也化成几个因式乘积的形式呢? 【教学说明】教师提出问题,学生独立思考,然后相互交流,发表各自的见解. 二、思考探究,获取新知 1.因式分解问题:把下列几个多项式化成几个因式乘积的形式:
a2+2ab+b2=____________ a2-2ab+b2=____________ a2-b2=____________ na+nb+nc=____________ 【教学说明】教师提出问题,学生独立完成,学生很容易从前面学习的知识中得出答案,初步感受因式分解. 【归纳结论】把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解,也叫做把这个多项式分解因式. 2.因式分解与整式乘法的关系观察,下列整式乘法与因式分解之间有什么关系?(1)m(a+b+c)=ma+mb+mc, ma+mb+mc=m(a+b+c); (2)(a-7)2=a2-14a+49, a2-14a+49=(a-7)2; (3)(x+3)(x-3)=x2-9, x2-9=(x+3)(x-3). 【教学说明】教师提出问题,学生观察、思考,然后相互交流,发表各自的见解. 【归纳结论】整式的乘法与因式分解是两种互逆的变形,整式乘法的结果是和,因式分解的结果是积. 3.提公因式法 由m(a+b+c)=ma+mb+mc,可得 ma+mb+mc=m(a+b+c). 我们来分析一下ma+mb+mc的特点:它的每一项都含有一个相同因式m,m叫做各项的公因式.如果把这个公因式提到括号外面,这样ma+mb+mc就分解成两个因式的积m(a+b+c),即 ma+mb+mc=m(a+b+c). 这种因式分解的方法叫做提公因式法. 【教学说明】学生通过阅读上面的文字、理解公因式与提公因式法的概念. 【归纳结论】提公因式法分解因式的关键一步是确定公因式,公因式的确定方法是:对于数字取各项系数的绝对值的最大公约数,对于字母取各项都含有的字母,相同字母的指数取数最低的,把公因式提到括号外面,括号里面的这个因式是多项式除以这个公因式的商. 三、典例精析,掌握新知 例1把下列各式分解因式:
(1)4m2-8mn; (2)3ax2-6axy+3a. 【解】(1)4m2-8mn=4m·m-4m·2n=4m(m-2n). (2)3ax2-6axy+3a=3a·x2-3a·2xy+3a·1=3a(x2-2xy+1). 例2把下列各式分解因式:
(1)2x(b+c)-3y(b+c); (2) 3n(x-2)+(2-x);

(3)(x+2y)2-x-2y;

(4)5x(x-3y)3-15y(3y-x)3. 【解】(1)2x(b+c)-3y(b+c)=(b+c)(2x-3y). (2)3n(x-2)+(2-x)=3n(x-2)-(x-2)=(x-2)(3n-1). (3)(x+2y)2-x-2y=(x+2y)2-(x+2y)=(x+2y)(x+2y-1). (4)5x(x-3y)3-15y(3y-x)3=5x(x-3y)3+15y(x-3y)3=5(x-3y)3(x+3y). 【教学说明】 教师给出例题,学生独立自主完成,教师可让几个学生上台展示自己的答案,交流各自的心得,积累解决问题的经验. 四、运用新知,深化理解 1.下列以左到右的变形属于因式分解的是( )
A.(x+1)(x-1)=x2-1 B.m2-2m-3=m(m-2)-3 C.x2-5x+6=(x-2)(x-3) D.(a-b)(x-y)=(b-a)(y-x) 2.填空:
(1)6x3-18x2=________(x-3); (2)-7a2+21a=-7a(_______). 3.把下列各式分解因式:
(1)np-nq; (2)-x3y-x2y2+xy;

(3)3(a+b)2+b(a+b); (4)m(a-b)-n(a-b); (5)6(x-y)3-3y(y-x)2; (6)mn(m-n)-m(n-m)2. 4.已知x+y=-5,xy=7.求x2y+xy2的值. 【教学说明】 教师给出例题,学生独立完成,教师巡视,对学生解题过程中出现的问题及时予以指正,对有困难的学生进行点拨. 【答案】 1.C 2.(1)6x2 (2)a-3 3.(1)np-nq=n(p-q) (2)-x3y-x2y2+xy=-xy(x2+xy-1) (3)3(a+b)2+b(a+b) =(a+b)[3(a+b)+b] =(a+b)(3a+4b) (4)m(a-b)-n(a-b) =(a-b)(m-n) (5)6(x-y)3-3y(y-x)2=6(x-y)3-3y(x-y)2=3(x-y)2[2(x-y)-y]=3(x-y)2(2x-3y) (6)mn(m-n)-m(n-m)2 =mn(m-n)-m(m-n)2 =m(m-n)[n-(m-n)] =m(m-n)(2n-m)4. ∵x+y=-5,xy=7, ∴x2y+xy2=xy(x+y)=7×(-5)=-35. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】 学生相互交流,回顾因式分解、公因式、提公因式法的概念,加深对所学新知识的理解和运用. 完成练习册中本课时练习. 从了解因式分解的概念,到运用提公因式法分解因式,学生积极主动,能够体验运用新知识解决问题的成就感,增强学好数学的信心. 2.公式法 【知识与技能】 1.能运用完全平方公式和平方差公式分解因式. 2.能运用分组分解法分解因式. 【过程与方法】 有意识地引导学生参与到数学活动中,培养学生观察、分析、运用知识的能力,掌握公式法和分组分解法. 【情感态度】 通过参与数学活动,培养学生独立思考及与他人合作交流的学习习惯,体验运用知识解决问题的喜悦,增强学生学好数学的自信心. 【教学重点】 运用公式法、分组分解法分解因式. 【教学难点】 熟练地运用公式法、分组分解法分解因式. 一、情境导入,初步认识 问题 计算:(1)(x+5)(x-5);

(2)(x-2)2. 【教学说明】教师给出问题,学生根据前面所学的平方差公式、完全平方公式进行计算. 二、思考探究,获取新知 公式法 问题 将上面的式子和结果交换位置,你有什么样的发现呢? 观察:x2-25=(x+5)(x-5) x2-4x+4=(x-2)2 【教学说明】教师提出问题,学生观察、分析、相互交流,发表各自的见解,可以得出从左到右的变形也是因式分解. 【归纳结论】运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫做公式法. 三、典例精析,掌握新知 例1把下列各式分解因式:
(1)x2+14x+49; (2)9a2-30ab+25b2; (3)x2-81; (4)36a2-25b2. 【解】(1)x2+14x+49=x2+2·x·7+72=(x+7)2. (2)9a2-30ab+25b2=(3a)2-2×3a×5b+(5b)2=(3a-5b)2. (3)x2-81=x2-92=(x+9)(x-9). (4)36a2-25b2=(6a)2-(5b)2=(6a+5b)(6a-5b). 例2把下列多项式分解因式:
(1)ab2-ac2; (2)3ax2+24axy+48ay2. 【解】(1)ab2-ac2 =a(b2-c2)(提取公因式)
=a(b+c)(b-c).(用平方差公式)
(2)3ax2+24axy+48ay2 =3a(x2+8xy+16y2)(提取公因式)
=3a(x+4y) 2.(用完全平方公式)
【教学说明】教师给出例题,学生独立完成,教师可让几个学生上台展示自己的答案,交流各自的心得,积累解决问题的经验. 【归纳结论】在因式分解的过程中,有时提取公因式与利用公式两种方法要同时使用.有公因式要先提取公因式,因式分解一定要分解到各因式不能再分解为止. 例3把下列各式分解因式:
(1)x2-y2+ax+ay; (2)a2+2ab+b2-c2. 【解】(1)x2-y2+ax+ay =(x2-y2)+(ax+ay) =(x+y)(x-y)+a(x+y) =(x+y)(x-y+a). (2)a2+2ab+b2-c2 =(a2+2ab+b2)-c2 =(a+b)2-c2 =(a+b+c)(a+b-c). 【教学说明】教师给出例题,学生相互交流,分组讨论,教师也可适当点拨,让学生掌握分组分解法. 【归纳结论】当多项式项数较多(项数大于3)时,因式分解时需先分组,分组后再利用提公因式或运用公式进行分解. 四、运用新知,深化理解 1.把下列各式写成完全平方的形式. 2.把下列各式分解因式. 3.把下列多项式分解因式. (1)2x3-32x; (2)9a3b3-ab; (3)mx2-8mx+16m; (4)-x4+256; (5)-a+2a2-a3; (6)27x2y2-18x2y+3x2. 4.把下列各式分解因式. (1)4a2-b2+4a-2b; (2)x2-2xy+y2-1; (3)9x2+6x+2y-y2; (4)x2-y2+a2-b2+2ax+2by. 5.利用因式分解的方法计算. (1)3.14×562-3.14×442; (2)184.52+184.5×31+15.52. 【教学说明】 教师给出习题,学生独立自主完成,教师巡视,对有困难的同学进行点拨. 5. (1)原式=3.14×(562-442)=3.14×(56+44)(56-44)=3.14×100×12=3768. (2)原式=(184.5+15.5)2=2002=40000. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】 学生相互交流,回顾公式法、分组分解法,加深对所得新知的理解和应用. 完成练习册中本课时练习. 从了解公式法,分组分解法到运用这两种方法分解因式,学生表现出极大的学习热情,但训练强度仍显不足,在后面的学习中这部分内容还应该加强训练. 8.5 综合与实践 纳米材料的奇异特性 【知识与技能】 1.了解纳米材料的一些特性. 2.能运用数学知识解决简单实际问题. 【过程与方法】 从实际问题感受数学与现实世界的紧密联系,体会转化、由特殊到一般等数学思想,培养学生观察、分析和归纳能力. 【情感态度】 有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中,享受运用数学知识解决问题的喜悦,增强学生学好数学的自信心. 【教学重点】 运用数学知识解决简单实际问题. 【教学难点】 熟练地运用数学知识解决简单实际问题. 一、情境导入,初步认识 问题1在图中,分别将边长为1 cm的正方体,切割成2×2×2个边长为0.5 cm和5×5×5个边长为0.2 cm的小正方体,在图中画出切割线.对这两种分割,分别求各小正方体的表面积之和与原正方体的表面积之比. 【教学说明】教师提出问题,学生独立思考,然后相互交流,发表各自的见解,在解决问题之前,也可先让学生阅读课本上面的纳米材料的介绍,初步了解纳米材料的奇异特性和形成原因. 二、思考探究,获取新知 一个正方体进行n×n×n次分解后表面积的变化情况. 问题2 将一个边长为1 cm的正方体,切割成n×n×n个边长为cm的小正方体,求各小正方体的表面积之和与原正方体的表面积之比. 【教学说明】教师提出问题,学生独立思考,然后相互交流,教师可引导学生从问题1中找到规律,体会由特殊到一般的数学思想. 【分析】原正方体的表面积为:6×12=6(cm2).各小正方体的表面积之和为:6×()2×n×n×n=6n(cm2).各小正方体的表面积之和与原正方体的表面积之比为6n÷6=n. 问题3说出当n=107(即小正方体边长为1nm)时,各小正方体的表面积之和与原正方体的表面积之比. 【教学说明】教师提出问题,学生分析,思考然后相互交流,得出正确答案,体会由一般到特殊的数学思想. 【分析】由问题2可知,当n=102时,各小正方体的表面积之和与原正方体的表面积之比为107,即小正方体的表面积之和是原正方体的表面积的107倍. 【归纳结论】随着n值的增大,小正方体的长的缩小,各小正方体的表面积之和与原正方体的表面积之比也随之增大. 问题4 将问题2中的正方体边长为改为acm,结果如何? 【分析】 若正方体的边长为acm,则原正方体表面积为:6×a2=6a2(cm2),各小正方体的表面积之和为:6× ()×n×n×n=6na2(cm2), 各小正方体的表面积之和与原正方体的表面积之比为6na2÷6a2=n. 【归纳结论】 将一个边长为acm的正方体,切割成n×n×n个边长为cm的小正方体,各小正方体的表面积之和与原正方体的表面积之比为n,即各小正方体的表面积之和是原正方体的表面积的n倍. 三、典例精析,掌握新知 例1将边长为4cm的正方体切割成20×20×20个边长为0.2cm的小正方体. (1)每个小正方体的表面积是多少? (2)每个小正方体的表面积之和是原正方体表面积的多少倍? 【解】(1)0.2×0.2×6=0.24(cm2); (2)各小正方体的表面积之和为:0.24×20×20×20=1920(cm2) 原正方体的表面积为:
4×4×6=96(cm2) 1920÷96=20 ∴各小正方体的表面积之和是原正方体表面积的20倍. 例2 观察:
你能写出(a+b)7的展开式吗? 【解】展开式中每一项的系数对应着以下规律:
【教学说明】教师给出例题,学生尝试独立完成,教师也可让几个学生上台展示自己的答案,交流各自的心得,提高学生解决问题的能力. 四、运用新知,深化理解 1.将边长为10cm的正方体的细分成棱长为0.5cm的小正方体,可分成的小正方体的个数为( )
A.20 B.103 C.8×102 D.8×103 2.将长、宽、高分别是10cm、8cm、6cm的长方体分成棱长为1cm的小正方体. (1)可以分成多少个这样的小正方体? (2)这些小正方体的表面积之比约是原长方体表面积的多少倍? 3.如图,101个正方形由小到大套在一起,从外向里相间地画上阴影,最外层画上阴影,最里面的一层画上阴影,最外面的正方形边长为101cm,向里依次为100cm、99cm、…1cm,那么在这个图形中,所有阴影部分的面积之和为多少? 【教学说明】教师给出例题,学生独立完成,教师巡视,对学生解题过程中出现的问题及时予以指正,对有困难的学生进行点拨. 【答案】1.D 2.(1)小正方体的个数为:(10×8×6)÷13=480(个);

(2)小正方体的表面积之和为:12×6×480=2880(cm2) 原长方体的表面积为:
2×(10×8+10×6+8×6)=376(cm2) 2880÷376≈8 ∴这些小正方体的表面积之和约是原长方体表面积的8倍. 3.所有阴影部分的面积之和为:
12+(32-22)+(52-42)+(72-62)+……+(1012-1002)
=1+5+9+13+…+201 =1+2+3+4+5+6+7+…+100+101 =5151 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾对一个正方体进行n×n×n次细分后表面积的变化情况,加深对所学新知识的理解和运用. 完成练习册中本课时练习. 从了解纳米材料的奇异特性,到探究小正方体细分后表面积的变化情况,学生积极主动,体验运用新知解决问题的成就感,增强应用数学的意识. 章末复习 【知识与技能】 进一步掌握幂的运算性质,整式乘法的计算法则、乘法公式,并能运用它们进行计算,会分解因式,能运用所学知识解决简单实际问题. 【过程与方法】 通过梳理本章知识,回顾解决问题中所涉及的数形结合思想、转化思想、类比思想、特殊到一般思想,加深对本章知识的理解和应用. 【情感态度】 在运用幂的运算性质、整式乘法、除法的计算法则、乘法公式、因式分解的方法等相关知识解决问题的过程中,进一步体会数学与生活的紧密联系,增强学生的数学应用意识,激发学生学习的兴趣. 【教学重点】 整式乘法、乘法公式及因式分解. 【教学难点】 综合运用所学知识解决实际问题. 一、情境导入,初步认识 【教学说明】 引导学生回顾本章知识点,展示本章知识结构框图,使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系,教学时,边回顾边建立知识结构框图. 二、思考探究,获取新知 1.幂的运算 同底数幂相乘,底数不变,指数相加;
幂的乘方,底数不变,指数相乘;
积的乘方等于各因数乘方的积;
同底数幂相除,底数不变,指数相减. 即am·an=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn am÷an=am-n 2.整式乘法 单项式与单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式;
对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加. 3.整式的除法 单项式与单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式;
对于只在被除式含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. 4.零指数幂,负整数幂,科学记数法 任何一个不等于零的数的零次幂都等于1;
任何一个不等于零的数的-p(p是正整数)次幂,等于这个数的p次幂的倒数.即a0=1(a≠0),a-p=1/ap(a≠0,p是正整数)绝对值小于1的数可记成±a×10-n的形式,其中1≤a<10,n是正整数,n等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零),这种记数方法也是是科学记数法. 5.乘法公式 两个数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍;
两个数的和与这两个数的差的乘积,等于这两个数的平方差. 即(a±b)2=a2±2ab+b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 6.因式分解 把一个多项式化为n个整式的积的形式,叫做因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的常用方法:提公因式法、公式法、分组分解法. 三、典例精析,掌握新知 例2下列式子从左到右的变形中是因式分解的是( )
A.x2-x-2=x(x-1)-2 B.x2+2xy-y2=(x+y)2 C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.4x2-4x+1=(2x-1)2 【分析】A等号右边不是积的形式,B等号左右两边不相等,C是整式的乘法,D是因式分解且左右两边相等,故选D. 例4 因式分解:
(2)原式=1010(1+1010)-10112 =1010×1011-10112 =1011(1010-1011) =1011×(-1)=-1011. 例6先化简,再求值:[(x+2y)(x-2y)-(x+4y)2]÷4y.其中x=2,y=-5. 【解】原式=[x2-4y2-(x2+8xy+16y2)]÷4y =(x2-4y2-x2-8xy-16y2)÷4y =(-8xy-20y2)÷4y =-2x-5y 当x=2,y=-5时, 原式=-2×2-5×(-5)=21. 例7已知△ABC的边长为a,b,c且(b-c)2+(2a+b)(c-b)=0,试判断b,c的大小关系. 【解】∵(b-c)2+(2a+b)(c-b) =(b-c)2-(2a+b)(b-c) =(b-c)[b-c-(2a+b)] =-(b-c)(2a+c)=0. ∵a,b,c为△ABC的三边.∴2a+c≠0. ∴b-c=0,∴b=c. 【教学说明】 教师给出例题,学生独立自主完成.教师可适当进行评价,强调应用各知识需要注意的问题,培养学生综合运用所学知识的能力,对于例题可适当增减. 四、复习训练,巩固提高 1.下列计算错误的是( )
A.(a2)3÷a4=a2 B.(4a3b)2=8a6b2 C.(3.14-π)0=1 D.(6m3-3m)÷3m=2m2-1 2.若4x2+(k-1)x+25是一个完全平方式,则k的值是( )
A.11 B.21 C.-19 D.21或-19 5.(1)已知2x=7,4y=5.求2x-2y的值. (2)已知x+y=7.xy=10,求①x2+y2,②x-y. 6.观察下列等式:
42-12=3×5 52-22=3×7 62-32=3×9 72-42=3×11…… (1)请你写出第n个等式(n为正整数). (2)请你验证你写的等式的正确性. 【教学说明】教师给出习题,学生自主完成,加深对本章知识的理解,进一步提高学生综合运用所学知识的能力.教师在巡视过程中对有困难的学生进行适当点拨. 【答案】1.B 2.D 五、师生互动,课堂小结 1.通过这节课的学习,你对本章知识有哪些新的认识?有何体会?请与同伴交流. 2.通过本章知识的学习,你掌握了哪些数学思想方法?说说看. 【教学说明】 学生回顾本章知识,积极与同伴交流,积累解题方法和经验. 完成练习册中本课时练习. 通过知识框图的呈现,让学生更好地回顾本章的知识点,进行知识的梳理,通过例题的讲解和习题的利用,进一步提高学生解决问题的能力. 第9章分式 9.1分式及其基本性质 第1课时分式的概念 【知识与技能】 1.了解分式的概念,理解分式有(无)意义的条件,分式值为零的条件. 2.能熟练地求出分式有(无)意义的条件和分式值为零的条件. 【过程与方法】 从实际问题引出分式,再探究分式有(无)意义的条件和值为零的条件,进一步体会转化的数学思想. 【情感态度】 有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中,培养学生的观察、分析、思考能力,并通过合作交流体验成功的喜悦,增强学好数学的信心. 【教学重点】 理解分式有(无)意义的条件,分式的值为零的条件. 【教学难点】 能熟练地求出分式有(无)意义的条件及分式的值为零的条件. 一、情境导入,初步认识 问题1 有两块稻田,第一块是4hm2,每公顷收水稻10500kg,第二块是3hm2,每公顷收水稻9000kg,这两块稻田平均每公顷收水稻_____kg. 如果第一块是mhm2,每公顷收水稻akg,第二块是nhm2,每公顷收水稻bkg,则这两块稻田平均每公顷收水稻___kg. 问题2 一个长方形的面积为Sm2,如果它的长为am,那么它的宽为____m. 【教学说明】教师提出问题,学生独立思考,然后相互交流,学生很容易列出式子,初步感受分式的特征. 二、思考探究,获取新知 分式的概念问题:上面问题中出现了代数式和,它们有什么共同特征?与整式有什么不同? 【教学说明】教师提出问题,学生相互交流,发表各自的见解,然后共同归纳分式的概念. 【归纳结论】一般地,如果a,b表示两个整式,并且b中含有字母,那么式子叫做分式,其中a叫做分式的分子,b叫做分式的分母.整式和分式统称为有理式,即 有理式 三、典例精析,掌握新知 例1下列式子是分式的是()
【分析】A、C、D都是整式(π是常数,不是字母),B是分式,故选B. 例2(1)当x取何值时,分式有意义? (2)当x是什么数时,分式的值为零? 【解】(1)当分母的值等于零时,分式没有意义,除此以外,分式都有意义.由x-2=0,解得x=2.因而,当x≠2时,分式4x-2有意义.(2)由x+4=0,解得x=-4.当x=-4时,分母=-8-3=-11≠0.因而,当x=-4时,分式的值为零. 例3当x取何值时,分式 (1)无意义;
(2)有意义;
(3)值为零. 【解】(1)由x-3=0,得x=3∴当x=3时,分式无意义. (2)由x-3≠0,得x≠3∴当x≠3时,分式有意义. (3)由x2-9=0,得x=±3又x-3=0,∴x≠3,∴x=-3∴当x=-3时,分式的值为零. 【教学说明】教师给出例题,学生独立自主完成,教师可让几个学生上台展示自己的答案,交流各自的心得,积累解决问题的经验. 【归纳结论】对于分式,当b≠0时,分式有意义;
当b=0时,分式无意义;
当a=0时且b≠0时,分式的值为零. 四、运用新知,深化理解 1.下列代数式中,哪些是分式?哪些是整式? 2.当x为何值时,分式: (1)有意义;
(2)无意义;
(3)值为0. 3.解下列问题:
(1)一箱苹果售价a元,箱子与苹果总质量为mkg,箱子质量为nkg,每千克苹果的售价为多少元? (2)已知轮船在静水中的速度为akm/h,水流速度为bkm/h(a>b),甲、乙两地的航程为skm,船从甲地顺江而下到乙地需多少时间?从乙地返回甲地需多少时间? 4.若分式的值为正,求x的取值范围. 【教学说明】教师给出习题,学生独立完成,教师巡视,对学生解题过程中出现的问题及时予以指正,对有困难的学生进行点拨. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾分式的概念及分式有(无)意义和分式值为0的条件,加深学生对所学知识的理解和应用. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题引出分式的概念,再探究分式有(无)意义的条件,学生积极主动在合作交流中体会成功的喜悦,增强学好数学的信心. 第2课时分式的基本性质 【知识与技能】 1.掌握分式的基本性质,能根据分式的基本性质进行分式的约分和变形. 2.理解最简分式的概念. 【过程与方法】 类比分数的基本性质,探究分式的基本性质,进一步体会类比的思想方法. 【情感态度】 有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中,培养学生的分析、思考能力,增强学生应用数学的意识,通过合作交流体验成功的喜悦,激发学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 掌握分式的基本性质和约分的方法. 【教学难点】 熟练运用分式的基本性质对分式进行变形. 一、情境导入,初步认识 问题分数有哪些基本性质? 【教学说明】教师提出问题,学生回顾小学所学的分数的基本性质. 二、思考探究,获取新知 分式的基本性质问题:完成下面等式的填空,并说出从左到右变化的依据:
【教学说明】教师给出问题,学生根据分数的基本性质填空,自然想到分式是否也有这样的性质. 【归纳结论】分式有如下的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变,即 (a、b、m都是整式,且m≠0). 三、典例精析,掌握新知 例1根据分式的基本性质填空:
例2不改变分式的值,把下列分式的分子与分母中各项的系数都化为整数. 【教学说明】教师给出例题,学生独立思考,然后相互交流,进一步掌握分式的基本性质. 【教学说明】教师给出例题,学生独立自主完成,教师可让部分学生上台展示自己的答案,交流各自的心得,加深对分式的基本性质的理解和运用. 【归纳结论】分子与分母只有公因式1的分式,叫做最简分式.根据分式的基本性质,把一个分式的分子和分母的公因式约去叫约分.约分通常是把分式化成最简分式或者整式. 四、运用新知,深化理解 1.把分式中x与y都扩大10倍,那么公式的值()
A.不变 B.扩大10倍 C.扩大100倍 D.缩小为原来的 2.填空:
3.下列等式从左边到右边是怎样得到的? 4.约分:
5.先化简,再求值: 【教学说明】教师给出习题,学生独立自主完成,教师巡视,也可让几个学生上台,在黑板上演算,教师给予点评. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾分式的基本性质及约分,最简分式的概念,加深学生对所学知识的理解和应用. 完成练习册中本课时练习. 从类比分数的基本性质探究分式的基本性质,再利用分式的基本性质进行约分,学生积极主动,在合作交流中体会成功的喜悦,激发学生学习数学的兴趣. 9.2分式的运算 1.分式的乘除 【知识与技能】 1.掌握分式乘除的法则和分式乘方的法则. 2.能熟练地进行分式的乘除法运算和乘方运算. 【过程与方法】 引导学生通过观察,分析,归纳探索分式乘除的法则,培养学生用类比的方法探索新知识的能力. 【情感态度】 有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中,培养学生的观察、分析、归纳能力,并通过合作交流体验成功的喜悦. 【教学重点】 分式的乘除法则和乘方法则. 【教学难点】 运用分式的乘除法则和乘方法则熟练地进行运算. 一、情境导入,初步认识 问题:你还记得分数的乘除运算吗? 【教学说明】教师提问题,学生回顾分数乘除法的计算法则,自然想到分式的乘除法是否也能这样进行计算,激发学生探求新知的欲望. 二、思考探究,获取新知 1.分式乘除的法则思考:任给下面式子中a,b,c,d一组数据,如a=2,b=3,c=-2,d=-3,求下面式子的值,再任选一组a,b,c,d的值进行计算,从中你能得出什么结论? 【教学说明】教师给出问题,学生根据给出的a,b,c,d的值进行计算,然后相互交流,发表各自的见解,最后共同归纳分式乘除的法则. 【归纳结论】两个分式相乘,用分子的积作积的分子,用分母的积作积的分母;
两个分式相除,将除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘,即 【教学说明】教师提出问题,学生独立完成,然后相互交流,最后共同归纳分式的乘方法则. 【归纳结论】分式乘方就是把分子、分母分别乘方,即:
三、典例精析,掌握新知 【教学说明】教师给出例题,学生独立自主完成,教师可选几个学生上台,在黑板上演算,然后给予点评. 四、运用新知,深化理解 4.体育课上,李明和王亮进行单人定位投篮练习,李明投a次中b次,王亮投m次中n次,问李明投篮的命中率是王亮的几倍? 5.先化简,再求值. 【教学说明】教师给出题,学生独立自主完成,教师巡视,对有困难的学生进行点拨. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾分式的乘除法则与分式的乘方法则,加深学生对所学知识的理解和应用. 完成练习册中本课时练习. 从探究分式的乘除法则和分式的乘方法则,到运用法则进行计算,学生积极主动,在合作交流中体验成功的喜悦,积累解决问题的经验. 2.分式的加减 【知识与技能】 1.了解通分,最简公分母的概念,能熟练地进行通分. 2.掌握分式的加减法则,能熟练地进行分式的加减运算. 3.掌握运算顺序,能正确地进行混合运算. 【过程与方法】 引导学生通过观察、分析、归纳探索分式加减的法则,类比有理数的混合运算探索分式的混合运算,提高分析问题和解决问题的能力. 【情感态度】 通过参与数学活动,让学生在独立思考的基础上,积极参与数学问题的讨论,增强合作交流意识,激发学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 熟练地进行分式的加减运算. 【教学难点】 熟练地进行分式的混合运算. 一、情境导入,初步认识 思考:下面再来复习分数的加数减运算:
【教学说明】教师给出问题,学生回顾旧知识,容易去思考分式的加减法如何进行运算呢?激发学生探求新知识的欲望. 二、思考探究,获取新知 通分思考:类比分数的加减运算,下面分式的加减运算如何进行? 【教学说明】教师提出问题,学生相互交流,发表各自的见解,进一步体会类比的思想. 【归纳结论】与分数类似,在计算异分母分式的加减时,要利用分式的基本性质,先把分母不相同的分式化成分母相同的分式,再进行加减.化异分母分式为同分母分式的过程,叫做分式的通分. 三、典例精析,掌握新知 例1通分:
【教学说明】教师给出例题,学生独立完成,然后相互交流,通过例题,学生便于掌握通分这一技能. 【归纳结论】异分母分式通分时,关键是确定公分母,通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母.在求最简公分母时应注意:(1)如果各分母的系数都是整数时,通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;
(2)当分母是多项式时,一般应先分解因式. 例2计算 【教学说明】教师给出例题,学生独立自主完成.教师可选几个学生上台在黑板上演算,然后给予点评. 【归纳结论】与分数加减类似,分式加减的法则为:同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减.异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式后再加减. 【教学说明】学生独立自主完成,然后相互交流,积累解决问题的经验. 【归纳结论】分式的加、减、乘、除、乘方混合运算也是先乘方,再乘除,后加减.如果有括号,先进行括号里的运算. 四、运用新知,深化理解 3.学校有一块面积为m的操场,七年级(2)班的a位同学承担了清除操场杂草的任务,若平均每位同学每小时能清除面积为n的杂草,则全班同清除全部杂草需要多少时间?七年级(1)班有b位同学,若平均每位同学每小时能清除面积为k的杂草,则两班合作要比七年级(2)班单独完成提前多少时间? 【教学说明】教师给出习题,学生独立自主完成,增强应用知识的意识,教师巡视适当点拨. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾通分、最简公分母、分式加减的法则等知识,加深对新知识的理解和运用. 完成练习册中本课时练习. 从探究分式加减的法则,到运用法则进行计算,学生积极主动,在合作交流中体验成功的喜悦,增强应用数学知识的意识. 9.3分式方程 第1课时 分式方程的概念和解法 【知识与技能】 1.理解分式方程的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程. 2.理解增根的概念,知道解分式方程必须验根并掌握验根的方法. 【过程与方法】 从实际问题引出分式方程,再探究分式方程的解法,进一步体会转化的思想方法. 【情感态度】 有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中,培养学生分析,思考能力,通过合作交流体验成功的喜悦,增强学生学好数学的信心. 【教学重点】 会解可化为一元一次方程的分式方程. 【教学难点】 理解分式方程必须验根,掌握验根的方法. 一、情境导入,初步认识 问题在相距1600km的两地之间运行一列车,速度提高25%后,运行时间缩短了4小时,你能求出列车提速前的速度吗? 【教学说明】教师提出问题,学生独立自主思考然后相互交流,发表各自的见解. 二、思考探究,获取新知 1.分式方程问题如何解决上面的问题呢? 【教学说明】学生独立思考,尝试列出方程. 设某列车提速前的速度为xkm/h,那么提速后的速度应为(1+25%)xkm/h. 【归纳结论】分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的解法 【教学说明】教师提出问题,学生观察解方程的过程,进一步体会转化的数学思想. 【归纳结论】解分式方程的基本思想是通过去分母把分式方程转化成整式方程,即分式方程去分母整式方程 3.分式方程的增根 【教学说明】教师提出问题,学生解出方程,然后把求出的根代入原方程检验,交流各自的发现. 【归纳结论】把x=3代入检验时,方程中分式的分母为零,分式无意义,所以x=3不是原方程的根,原方程无解.x=3是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根,但不是原方程的根,像x=3这样的根,称为增根.解分式方程时可能产生增根,所以必须验根. 三、典例精析,掌握新知 【解】方程两边同乘以最简公分母(x+3)(x-3),得(x-1)(x-3)-2(x+3)(x-3)=-x(x+3).展开,得x2-4x+3-2x2+18=-x2-3x.解方程,得x=21.检验:当x=21时,(x+3)(x-3)≠0因而,原方程的根是x=21. 【教学说明】教师给出例题,学生独立完成,教师可让一个学生上台在黑板上演算,然后给予点评. 【归纳结论】解分式方程时,通常要在方程两边同乘以最简公分母,验根时,只要把求得的根代入最简公分母,看它的值是否为零,使它不为零的根才是原方程的根,使它为零的根,即为增根,应舍去.交流:由以上解方程的过程,你能总结出解分式方程的步骤吗?把你的结论与同伴交流. 【教学说明】教师可让学生相互交流,发表各自的见解.归纳解分式方程的一般步骤. 【归纳结论】解分式方程的一般步骤是:(1)方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;
(2)解整式方程;
(3)检验. 【教学说明】教师给出例题,学生独立思考,然后交流各自的心得,积累解决问题的经验. 四、运用新知,深化理解 5.防汛期间,县指挥部组织人力到30km远的堤上抢修堤坝,2人骑摩托车先走,15min后,大部队乘汽车载着所需材料出发,结果他们同时到达.已知汽车速度是摩托车速度的1.5倍,求这两种车的速度. 【教学说明】教师给出习题,学生尝试独立完成,教师巡视,对有困难的学生给予点拨. 【答案】1.C 2.(1)方程两边同乘以x(x-2)得:5(x-2)=3x解得x=5检验:当x=5时,x(x-2)≠0.∴x=5是原分式方程的根.(2)方程两边同乘以(x-4)得:x-4-1=3-x解得:x=4检验:当x=4时,x-4=0.∴x=4是增根,原方式方程无解. 3.方程两边同乘以(x-2)得:2x+m=3(x-2)解得x=m+6.∵方程的解为正数∴m+6>0且m+6≠2,∴m>-6且m≠-4. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾分式方程及分式方程的解法,加深对所学知识的理解和运用. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题引出分式方程,再探究分式方程的解法,学生积极主动,在合作交流中体会成功的喜悦,增强学好数学的信心. 第2课时 分式方程的应用 【知识与技能】 1.会解字母系数的分式方程. 2.能运用分式方程解决简单实际问题. 【过程与方法】 引导学生通过分析,思考,探索运用分式方程解决实际问题,培养学生数学应用意识. 【情感态度】 通过参与数学活动,让学生在独立思考的基础上,增强合作交流意识,积累解决问题的经验. 【教学重点】 运用分式方程解决实际问题. 【教学难点】 会解含字母系数的分式方程. 一、情境导入,初步认识 问题某乡镇决定对一段公路进行改造,已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成,如果由乙工程队先单独做10天,那么剩下的工程还需要两队合作20天才能完成,求乙工程队单独完成这项工程所需的天数. 【教学说明】教师提出问题,学生独立思考,然后相互交流,初步感受分式方程的应用. 二、思考探究,获取新知 运用分式方程解决实际问题 问题 如何解决上面的问题呢? 【教学说明】教师提出问题,学生独立思考,分析题中等量关系,设未知数列方程求解. 【分析】题中等量关系:乙工程队先单独做10天完成的工程量+两队合作20天完成的工程量=“1” 设乙工程队单独完成这项工程需要x天. 方程两边同乘以40x得:
400+800+20x=40x 解得x=60 经检验:x=60是原分式方程的根.∴乙工程队单独完成这项工程需60天.交流:由以上解题过程,你能总结列分式方程解决实际问题的一般步骤吗?它与列一元一次方程解决实际问题的步骤一样吗? 【教学说明】教师可让学生相互交流,发表各自的见解,归纳列分式方程解决实际问题的一般步骤. 【归纳结论】列分式方程解决实际问题的一般步骤与列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是一样的:(1)审题,找出等量关系;
(2)设未知数;
(3)列出分式方程;
(4)解分式方程并验根;
(5)写出答案. 三、典例精析,掌握新知 例1有一并联电路,如图,两电阻阻值分别为R1,R2,总电阻阻值为R,三者关系为:
2.若已知R1、R2,求R. 【解】方程两边同乘以RR1R2,得R1R2=RR2+RR1, 即R1R2=R(R1+R2).因为R1,R2都是正数,所以R1+R2≠0. 两边同除以(R1+R2),得 【教学说明】教师给出例题,学生独立思考,然后相互交流,发表各自的见解,积累解决问题的经验. 【归纳结论】解含有字母系数的分式方程,把要求的字母作未知数,其他字母当作已知数,然后解出分式方程并验根. 例2七年级甲、乙两班师生前往郊区参加义务植树活动,已知甲班每天比乙班多种10棵树,如果分配给甲、乙两班的植树任务分别是150棵和120棵,问两个班每天各值树多少棵,才能同时完成任务? 【解】设乙班每天植树x棵,那么甲班每天植树(x+10)棵,甲班完成任务需天,乙班完成任务需天. 要求同时完成任务,即x应满足下列等式:
解方程,得x=40.检验:x=40是原方程的根.此时x+10=50.因此,当乙班每天植树40棵,甲班每天植树50棵树,两个班能同时完成任务. 【教学说明】教师给出例题,学生独立思考,自主完成,教师可选几个同学上台展示自己的答案,交流各自的心得,积累解决问题的经验. 四、运用新知,深化理解 1.甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同,已知两人每天共做140个零件,若设甲每天做x个零件,列方程正确的是()
2.在公式中,P2≠0,用P1,P2,V1表示出V2. 3.小华和姐姐都用计算机输入1500个汉字,姐姐的输入速度是小华的3倍,结果姐姐比小华少用20min完成,求他们各自的打字速度. 4.洪发服装店老板用4500元购进一批某款式T恤衫,由于深受顾客喜爱,很快售完,老板又用4950元购进第二批该款T恤衫,所购数量与第一批相同,但每件进价比第一批多了9元. (1)第一批该款式T恤衫每件进价是多少元? (2)老师以每件120元的价格销售该款式T恤衫,当第二批T恤衫售出时,出现了滞销,于是决定降价促销,若要使第二批的销售利润不低于650元,剩下的T恤衫每件售价至少要多少元?(利润=售价-进价)
【教学说明】教师给出习题,学生尝试独立完成,教师巡视,对解题过程中出现的问题及时予以指正,对有困难的学生进行点拨. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】学会相互交流,回顾运用分式方程解决实际问题的相关知识,加深对所学知识的理解和运用. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题引出运用分式方程来解决实际问题,到探究运用分式方程解决实际问题的一般步骤,学生积极主动,后面的学习中还应加强训练. 章末复习 【知识与技能】进一步加深对分式、分式方程概念的理解,掌握分式的基本性质,会进行分式的混合运算,会解分式方程,能运用分式方程解决实际问题. 【过程与方法】 通过梳理本章知识,回顾解决问题中所涉及的类比思想,转化思想,加深学生对本章知识的理解和应用. 【情感态度】 在运用分式、分式方程的有关知识解决实际问题的过程中,进一步体会数学与生活的密切联系,增强学生的数学应用意识,激发学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 分式的混合运算,分式方程的解法及分式方程的应用. 【教学难点】 分式方程的应用 一、情境导入,初步认识 【教学说明】引导学生回顾本章知识点,展示本章知识结构框图,使学生能系统地了解本章知识及它们之间的关系,教学时,边回顾边建立结构框图. 二、思考探究,获取新知 1.分式、分式方程有(无)意义的条件,分式值为0的条件.一般来说,a,b表示两个整式,且b中含有字母,那么式子叫做分式;b≠0,分式有意义;
b=0,分式无意义;
a=0且b≠0,分式的值为0. 2.分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变. 3.分式的运算 两个分式相乘,用分子的积作积的分子,用分母的积作积的分母;
两个分式相除,将除式的分子,分母颠倒位置后,与被除式相乘;
同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减;
异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式后再加减. 4.约分、通分 把一个分式的分子和分母的公因式约去叫做约分.化异分母分式为同分母分式的过程叫做通分. 5.分式方程及分式方程的解法. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程,解分式方程的一般步骤是:(1)方程两边同乘以最简公分母,将分式方程转化为整式方程;
(2)解整式方程;
(3)检验. 三、典例精析,掌握新知 例8某开发公司的960件新产品需要精加工后才能投放市场,现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品,已知甲工厂加工完这批产品比乙工厂多用20天,且甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的,求甲、乙两工厂每天各能加工多少件新产品. 【解】设乙工厂每天能加工x件产品,则甲工厂每天能加工x件产品. ∴甲每天能加工16件产品,乙每天能加工24件产品. 【教学说明】教师给出例题,学生独立自主完成,数师可适当进行评讲,强调应用各知识需要注意的问题,培养学生综合运用所学知识的能力,对于例题可适当增减. 四、复习训练,巩固提高 1.下列分式是最简分式的是()
7.一项工程,乙单独完成需12天,若先由甲单独做3天,则再由甲、乙合做6天可完成任务,则甲单独做多少天可完成任务? 【教学说明】教师给出习题,学生自主完成,加深对本章知识的理解,进一步提高学生综合运用所学知识的能力.教师在巡视过程中对有困难的学生进行适当点拨. 【答案】1.C 五、师生互动,课堂小结 1.通过这节课的学习,你对本章有哪些新的认识?有何体会?请与同伴交流. 2.通过本章知识的学习,你掌握了哪些数学思想方法?说说看. 【教学说明】学生回顾本章知识,积极与同伴交流,积累解题方法和经验. 完成练习册中本课时练习. 通过知识框图的呈现,让学生更好地回顾本章的知识点,进行知识的梳理,通过例题的讲解与习题的训练,进一步提高学生分析问题,解决问题的能力,激发学生学习数学的兴趣. 第10章 相交线、平行线与平移 10.1 相交线 第1课时 对顶角 【知识与技能】 1.了解两条直线相交所构成的角,理解并掌握对顶角的概念. 2.理解对顶角性质的推导过程,并会用这个性质进行简单的证明和计算. 【过程与方法】 了解对顶角的概念,通过探索对顶角性质的过程,进一步培养学生的识图能力. 【情感态度】 有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中,培养学生观察、分析、推理的能力,体会数学这与现实生活的紧密联系. 【教学重点】 对顶角的性质及运用. 【教学难点】 对顶角性质的探索. 一、 情境导入,初步认识 问题:观察剪刀剪东西的过程,可以将剪刀的两片刀刃边沿看作是两条相交直线,如图(1)中虚线所示.把这两条相交直线用图(2)表示,在剪东西的过程中,∠AOC与∠BOD这两个角的位置和大小始终保持怎样的关系? 【教学说明】教师提出问题,学生独立思考,然后相互交流,发表各自的见解,初步感知相交线与对顶角. 二、思考探究,获取新知 1.对顶角的概念问:在图(2)中,∠1和∠3有何位置关系? 【教学说明】教师提出问题,学生观察图片,归纳对顶角的概念. 【归纳结论】在图(2)中,直线AB与CD相交于点O,∠1和∠3有公共顶点O,并且它们的两边分别互为反向延长线,这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质 探究:在图(2)中,∠1与∠3的大小有什么关系?你能说明具有这样关系的道理吗? 【教学说明】教师提出问题,学生观察图形,尝试进行推理论证,感受数学的严密性和逻辑性. ∵∠1+∠2=180° ∠3+∠2=180° ∴∠1=∠3 【归纳结论】对顶角相等. 三、典例精析,掌握新知 例1 如图所示,直线AB和CD相交于点O,OE是一条射线. (1)∠AOC的邻补角是 (2)∠AOD的对顶角是 (3)∠BOD的对顶角是 【解】 (1)∠AOD,∠BOC (2)∠BOC (3)∠AOC 例2 如图,直线a,b相交,∠1=40°,求∠2、∠3、∠4. 【解】∵∠1=40° ∴∠3=∠1=40° ∴∠2=180°-∠1=180°-40°=140° ∴∠4=∠2=140°. 例3 如图所示,直线AB、DF交于点C,CE是一条射线,∠2=2∠1、 ∠ECD=120°.求∠ACF. 【解】∵∠ECD=120° ∴∠1+∠2=60° 又∠2=2∠1 ∴∠2=40° ∴∠ACF=∠2=40°. 例4 如图,∠AOC与∠BOD为对顶角,OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.请求出∠EOF的度数,你有什么发现?能用一句简洁的语句描述你的发现吗? 【解】∵∠AOC与∠BOD为对顶角 ∴C、O、D在同一条直线上. 又OE平分∠AOC,OF平分∠BOD. ∴∠COE= AOC,∠DOF=∠BOD. 又∠AOC=∠BOD ∴∠COE=∠DOF. ∴∠EOF=∠COE+∠COF=∠DOF+∠COF=∠COD=180°. 发现:对顶角的角平分线在同一条直线上. 【教学说明】教师给出例题,学生独立自主完成,教师可让几个学生上台展示自己的答案,交流各自的心得,积累解决问题的经验与方法. 四、运用新知,深化理解 1.下列说法正确的是( )
A.相等的角是对顶角;

B.若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;

C.若两个角不是对顶角,则这两个角不相等;

D.有公共顶点且相等的两个角是对顶角. 2.判断下列各图中∠1与∠2是否为对顶角,并说明理由. 3.如图,两条直线相交,∠1=35°,求∠2和∠3的度数. 4.如图,直线AB、CD交于点O,OE平分∠BOD.若∠3∶∠2=8∶1,求∠AOC的度数. 【教学说明】教师给出习题,学生尝试独立完成,教师巡视,对解题过程中出现的问题及时予以指正,对有困难的学生进行点拨. 【答案】1.B 2.(1)不是对顶角,∠1与∠2没有公共顶点; (2)不是对顶角,∠1与∠2的两边不是分别互为反向延长线;

(3)不是对顶角,理由同(2); (4)不是对顶角,∠1与∠2是邻补角; (5)是对顶角; (6)不是对顶角,理由同(1). 3.∠2=∠1=35° ∠3=180°-∠1=145°. 4.∵OE平分∠BOD∴∠1=∠2 又∠3∶∠2=8∶1 ∴∠3=8∠2. 又∠1+∠2+∠3=180° ∴10∠2=180°, ∴∠2=18° ∴∠AOC=∠BOD=2∠2=36°. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾对顶角的概念与性质,加深对所学知识的理解和运用. 完成练习册中本课时练习. 从生活实际引出对顶角,再探究对顶角的性质,学生积极主动,在合作交流中体会成功的喜悦,增强学好数学的信心. 第2课时 垂线 【知识与技能】 1.了解垂线的概念,会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线. 2.了解垂线段,点到直线的距离的概念. 3.掌握垂直公理和垂线段的性质,会进行简单的推理. 【过程与方法】 通过动手操作与合作交流,体会数学知识的严密性和逻辑性. 【情感态度】 有意识地引导学生积极参与数学活动,培养学生合作交流意识,激发学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 垂直公理和垂线段的性质. 【教学难点】 几何语言的准确叙述. 一、情境导入,初步认识 问题将十字街口的两条道路看作两条直线,如图(2)中的AB和CD,它们相交于点O,形成4个角,如果∠AOC=90°,那么其他3个角的度数各是多少?为什么? 【教学说明】教师提出问题,学生独立思考然后相互交流,初步感受生活中的垂直. 二、思考探究,获取新知 问题 在上面的问题中,AB与CD有怎样的位置关系? 【教学说明】教师提出问题,学生很容易想到小学所学知识,激发学生继续学习的兴趣. 【归纳结论】在两条直线AB和CD相交所成的4个角中,如果有一个角是直角,就说这两条直线互相垂直,记作“AB⊥CD”,读作“AB垂直于CD”,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点O叫做垂足. 1. 垂直公理 操作:(1)用三角尺画垂线. 仿照下面图的画图办法,过已知直线l上(或外)的一点P画直线,使它与直线l垂直. 2. 用折纸方法画垂线. 仿照图所示的方法,折出经过点P与直线l垂直的折痕,用直尺沿折痕画出直线. 问题:通过上面的操作,你知道过一点画已知直线的垂线,能画几条吗? 【教学说明】教师提出问题,学生观察,实际操作,很容易得出结论,学生共同归纳,体会数学语言的严密性. 【归纳结论】过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. 3.垂线段 (1)如图,点P在直线l外,在直线l上任意取一些点A,B,C,O,把这些点分别与点P连接,得到线段PA,PB,PC,PO,其中PO⊥l. 观察这些线段,比较它们的长短,其中哪一条线段最短? (2)点P在直线l外,把一根细绳的一端用图钉固定在点P处,拉紧细绳,按图所示步骤进行操作. 观察细绳上的标记点O(垂直拉紧时的垂足)位置的变化,你有什么发现? 【教学说明】学生通过观察,实际操作,并归纳结论. 【归纳结论】在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段(连接直线线外一点与垂足形成的线段)最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 三、典例精析,掌握新知 例 如图所示,已知OB⊥OD,∠1=∠2,试判断OA与OC的位置关系,并说明理由. 【解】OA⊥OC.理由如下:
∵OB⊥OD ∴∠2+∠BOC=90° 又∠1=∠2 ∴∠1+∠BOC=90° 即∠AOC=90° ∴OA⊥OC. 【教学说明】教师给出例题,学生独立完成,教师可选几个同学上台展示自己的答案,交流各自的心得,积累解决问题的经验. 四、运用新知,深化理解 1.如图,在三角形ABC中,D是BC中点,连接AD,请分别画出自点B,C向AD所作的垂线(垂足为E,F). 2.(1)如图,用三角尺画出点A到直线BC的垂线段;

(2)画出点B到直线AC的垂线段. 3.如图,直线l表示一条公路,点P是一所学校所在的位置.要修一条从学校到公路的道路,如何修才能使道路最短?画出所修道路的示意图. 【教学说明】教师给出习题,学生独立完成,教师巡视,指导学生规范作图. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾垂线、点到直线的距离等概念,理解“垂直公理”和“垂线段最短”等性质. 完成练习册中本课时 练习. 从生活中的实际例子引出垂线、点到直线的距离等概念,再探究垂直公理和垂线的性质,学生积极主动参与到教学活动中来. 10.2 平行线的判定 第1课时 平行线及同位角、内错角和同旁内角 【知识与技能】 1.理解平行线的意义,了解同一平面内两条直线的位置关系,会用直尺和三角板画平行线. 2.理解并掌握平行公理及其推论. 3.理解同位角、内错角、同旁内角的意义.会识别图中的同位角、内错角、同旁内角. 【过程与方法】 通过动手操作与合作交流,掌握 平行公理及其推论;
通过识别同位、内错角、同旁内角培养学生的识图能力. 【情感态度】 有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中,培养学生观察、分析、以及推理的能力. 【教学重点】 平行公理及其推论. 【教学难点】 同位角、内错角、同旁内角的识别. 一、情境导入,初步认识 问题 在小学,我们就学过平行线和画平行线,你还记得这这些知识吗? 【教学说明】教师提出问题,学生回忆小学所学知识,激发学生继续探索. 二、思考探究,获取新知 1.平行线 问题:如图,双杠上的两条横杠,黑板的上下两边,把它们看作直线时,都给我们平行直线的形象.你还能举出类似的例子吗? 【教学说明】教师提出问题,学生举出生活中的一些例子,进一步感受数学与生活的紧密联系. 【归纳结论】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线,如图,两条直线AB和CD平行,记作“AB∥CD”,读作“AB平行于CD”. 2.平行公理及推论 操作:如图,点P在直线l外,按照图示的方法过点P画直线l的平行线,你能画几条? 【教学说明】教师提出问题,学生通过操作,很容易得出结论,然后共同归纳平行公理. 【归纳结论】经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线. 观察:如图,如果直线a∥c,b∥c,想一想直线a与b有怎样的位置关系? 【教学说明】教师提出问题,学生通过观察,猜想a与b的位置关系,教师也可拓展,运用反证法加以证明. 【归纳结论】如果两条直线和第三条直线平行,那么这两条直线平行,即 如果直线a∥c,b∥c,那么直线a∥b. 3. 同位角、内错角、同旁内角 问题:如图,直线a、b被直线c所截而形成的8个角中,它们具有怎样的位置关系? 【教学说明】教师提出问题,学生独立思考,然后相互交流,发表各自的意见,通过阅读下面的文字,理解并识记同位角、内错角、同旁内角的概念. 如图,两条直线a和b被第三条直线c(相当于“基准线”)所截,其中∠1和∠5,分别在直线a和b相同的一侧,并且位于直线c的同旁,具有这样位置关系的一对角叫做同位角. 同样,∠3与∠5都在直线a和b之间,并且位于直线c的两旁,具有这样位置关系的一对角叫做内错角;
∠4与∠5都在直线a和b之间,并且位于直线c的同旁,具有这样位置的一对角叫做同旁内角. 三、典例精析,掌握新知 例1如图,按下列语句画图:(1)过点A画AD∥BC;(2)过点C画CE∥AB,与AD相交于点E. 【解】如图. 例2 如图,分别找出一个角与∠α配对,使两个角成为:(1)同位角;
(2)内错角;
(3)同旁内角,并指出是由哪条直线截另外两条直线而得到的. 【解】(1)∠α与∠3是直线EF和GH被直线AB所截得的同位角,或∠6与∠α是直线AB和CD被直线GH所截得的同位角. (2)∠1与∠α是直线EF和GH被直线AB所截得的内错角,或∠5与∠α是直线AB和CD被直线GH所截得的内错角. (3)∠2与∠α是直线EF和GH被直线AB所截得的同旁内角,或∠4与∠α是直线AB和CD被直线GH所截的同旁内角. 【教学说明】教师给出例题,学生独立自主完成.教师可选几个同学上台展示自己的答案,交流各自的心得,积累解决问题的经验和方法. 四、运用新知,深化理解 1.判断题:
(1)不相交的两条直线叫做平行线.( ) (2)如果一条直线与两条平行线中的一条直线平行,那么它与另一条直线也互相平行.( ) (3)过一点有且只有一条直线平行于已知直线.( ) (4)若a与b平行,b与c平行,则a与c不相交.( ) (5)若线段AB与CD没有交点,则AB∥CD.( ) (6)在同一平面内,两条直线的位置关系有两种.( ) 2.如图,直线AB,CD被直线CE所截,与∠1成内错角的是 ;
与∠1成同旁内角的是 ;
直线AB、CD被直线DE所截,与∠2成内错角的 是 ;
与∠2成同旁内角的是 . 第2题图 第3题图 3.如图,∠1与∠D,∠1与∠B,∠3与∠4,∠B与∠BCD,∠2与∠4分别是哪两条直线被哪一条直线所截得到的?它们中的每一对角分别叫做什么角? 【教学说明】教师给出习题,学生独立自主完成.教师巡视,对有困难的学生给予点拨. 【答案】1.(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√ 2.∠3,∠BEC,∠5,∠AED 3.∠1与∠D是直线AB,CD被直线AD所截得的内错角;
∠1与∠B是直线AD,BC被直线AB所截得的同位角;
∠3与∠4是直线AB,CD被直线AC所截得的内错角;
∠B与∠BCD是直线AB、CD被直线BC所截得的同旁内角;
∠2与∠4是直线AD、CD被直线AC所截得的同旁内角. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾平行线、同位角、内错角、同旁内角的概念和平行公理及其推论,加深对所学知识的理解和运用. 完成练习册中本课时 练习. 从生活中的实际例子引出平行线,再探究平行公理及其推论,以及同位角、内错角、同旁内角的识别,学生积极主动探究相关知识,在合作交流中体会成功的喜悦,增强学好数学的信心. 第2课时 平行线的判定 【知识与技能】 掌握平行线的三种判定方法,并初步运用三种判定方法进行简单的推理论证. 【过程与方法】 通过判定两直线平行的方法的探究过程,初步学会简单的推理和论证,了解转化的数学思想方法. 【情感态度】 有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中,培养学生观察、分析、推理能力和动手操作能力,增强学好数学的信心. 【教学重点】 判定两直线平行的三种方法. 【教学难点】 利用平行线的三种判定方法进行简单推理和论证. 一、情境导入,初步认识 问题 怎样判定两直线平行呢? 【教学说明】教师提出问题,学生独立思考,然后相互交流,学生容易想到平行线的概念和平行公理的推论两种方法,激发学生探求新知的兴趣. 二、思考探究,获取新知 1.平行线的判定定理1. 观察:如图(1),在用三角尺和直尺画平行线时,三角尺紧靠直尺移动,所画直线l′与l平行,这时∠1与∠2相等. 如图(2),在画平行线时,如三角形移动过程中没紧靠直尺(这时∠2>∠1),所画直线l′与l平行吗? 【教学说明】教师提出问题,学生观察,实际操作,相互交流各自的发现,共同归纳平行线的判定定理1. 【归纳结论】两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行,简单地说,同位角相等,两直线平行. 2.平行线的判定定理2、判定定理3. 思考:如图,直线a,b被直线c所截,如果内错角∠2和∠4相等,你能根据上面的基本事实,说明直线a∥b吗?∠3和∠4又有怎样的关系,才能说明a∥b? 【教学说明】教师提出问题,学生独立思考,然后相互交流,感受简单的推理,体会转化的数学思想. 【归纳结论】两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行,简单地说,内错角相等,两直线平行. 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行,简单地说,同旁内角互补,两直线平行. 三、典例精析,掌握新知 例1如图,填空:
(1)∵∠1=∠2 ∴a∥b( ) (2)∵∠2=∠3 ∴b∥c( ) (3)∵∠1=∠3 ∴a∥c( ) (4)∵∠1+∠4= ∴a∥c( ). 【解】(1)内错角相等,两直线平行 (2)同位角相等,两直线平行 (3)内错角相等,两直线平行 (4)180°同旁内角互补,两直线平行 例2 如图,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?为什么? 【解】a∥c,理由如下: ∵∠1=∠2 ∴a∥b 又∠3+∠4=180° ∴b∥c ∴a∥c. 例3 如图,直线AB与CD相交于点O,OA平分∠COE,∠1=∠OBD,试判断OE与BD是否平行,并说明理由. 【解】OE∥BD,理由:因为OA平分∠COE,所以∠1=∠2,又因为∠1=∠OBD,所以∠2=∠OBD,所以OE∥BD. 【教学说明】教师给出例题,学生独立自主完成,老师也可让几个学生上台展示自己的答案,交流各自的心得,积累解决问题的经验与方法. 四、运用新知,深化理解 1.木工师傅在画线时,用一种叫做角尺的工具画榫(sǔn)眼线.如图,把角尺的一边紧靠木料的边AB,滑动角尺画出的两条直线CD和EF就是平行线.你能说出这样做的依据吗? 2.如图,如果油轮A和油轮B继续沿着这两条航线航行,它们会有相撞的危险吗?为什么? 3.如图,如果∠1=47°,2=47°,∠3=47°,可以判定哪些直线平行?判定的依据分别是什么? 第3题图 第4题图 4.如图,若∠A=62°,∠B=118°,可以判定哪两条立线平行?判定的依据是什么? 5.如图,已知AC平分∠DAB,∠1=∠2,由AC平分∠DAB,得∠1= ,又因为∠1=∠2,所以∠2= .所以AB∥ . 【教学说明】教师给出习题,学生独立自主完成,教师巡视,对有困难的学生给予点拨. 【答案】1.因为在画图时保证了∠DCE=∠FEB所以CD∥EF.理由是同位角相等两直线平行. 2.不会有相撞的危险,因为油轮A和油轮B的航线是平行的. 3.∵∠1=∠2=47° ∴DE∥BC(内错角相等,两直线平行)
∵∠2=∠3=47° ∴AB∥EF(同位角相等,两直线平行)
4.∵∠A=62°,∠B=118° ∴∠A+∠B=180° ∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行) 5.∠CAB,∠CAB,CD 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾平行线的3个判定定理,加深对所学知识的理解和运用. 完成练习册中本课时 练习. 从探究平行线的判定定理到运用平行线的判定定理解决问题,学生积极主动探究相关知识,在合作交流中体会成功的喜悦,激发学生学习数学的兴趣. 10.3 平行线的性质 【知识与技能】 1.会由平行线的性质1,简单推理得出性质2、性质3. 2.能运用平行线的性质和判定进行简单的推理. 【过程与方法】 通过探索平行线的性质的过程,培养学生严谨的逻辑推理能力和书写表达能力. 【情感态度】 有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中,培养学生推理、应用能力. 【教学重点】 平行线性质的简单应用. 【教学难点】 平行线性质和判定的综合运用. 一、情境导入,初步认识 问题 前面我们学习了平行线的几种判定方法,平行线有哪些性质呢? 【教学说明】教师提出问题,激发学生探求新知的兴趣. 二、思考探究,获取新知 1.平行线的性质1. 观察:如图,练习本上的横线都是相互平行的,从中任选两条分别记为AB,CD;
画一条直线EF分别与AB,CD相交得8个角. (1)任选一对同位角(如∠1与∠5),量一量它们的度数,它们的大小有什么关系? (2)再任选一对同位角(如∠2与∠6),量一量它们的度数,它们的大小有什么关系? 由此你能得到什么结论? 【教学说明】教师提出问题,学生观察,动手实际操作,然后相互交流,得出结论. 【归纳结论】平行线有如下性质:
性质1 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单地说,两直线平行,同位角相等. 2.平行线的性质2、性质3. 思考:在上图中,当AB∥CD时,你还会发现内错角∠3和∠5的大小有什么关系?同旁内角∠4和∠5之间又有什么关系?能说明理由吗? 【教学说明】教师提出问题,学生独立思考,然后相互交流,发表各自的见解,学生很容易借助性质1,得出性质2、性质3. 【归纳结论】由平行线的性质1,可以推得平行线的另外两个性质:
性质2 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单地说,两直线平行,内错角相等. 性质3 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单地说,两直线平行,同旁内角互补. 三、典例精析,掌握新知 例1 如图,直线AB,CD,EF被MN所截,∠1=∠2,AB∥EF,那么CD∥EF吗?∠2与∠3有什么数量关系?∠2与∠4有什么数量关系? 【解】CD∥EF,∠2+∠3=180°,∠2=∠4. 理由如下:∵∠1=∠2, ∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行). ∵AB∥EF. ∴CD∥EF(如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行), ∴∠2+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补), ∴∠2=∠4(两直线平行,内错角相等). 例2 如图,已知点D、E、F分别在△ABC的边AB,AC,BC上,且DE∥BC,∠B=48°. (1)试求∠ADE的度数;

(2)如果∠DEF=48°,那么EF与AB平行吗? 【解】(1)因为DE∥BC,所以∠ADE=∠B=48°. (2)由(1),得∠ADE=48°,而∠DEF=48°,所以∠ADE=∠DEF.根据“内错角相等,两直线平行”,可以得到EF∥AB. 例3 完成下题的证明. 如图,AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为D,E,∠1=∠2,求证:AD平分∠BAC.证明:∵AD⊥BC(已知), ∴∠ADC= , ∵EF⊥BC(已知), ∴∠FEC= , ∴∠ADC=∠FEC, ∴AD∥ ( ); ∴∠1= ( ), ∠2= ( ), 又∵∠1=∠2(已知), ∴∠3=∠ , ∴AD平分∠BAC. 【教学说明】老师给出例题,学生独立自主完成,老师也可让几个学生上台在黑板上演算或解答,然后给予点评. 四、运用新知,深化理解 1.看图填空. (1)由DE∥BC,可以得到∠ADE= ,依据是 . (2)由DE∥BC,可以得到∠DFB= .依据是 . (3)由DE∥BC,可以得到∠C+ =180°,依据是 . (4)由DF∥AC,可以得到∠AED= ,依据是 . (5)由DF∥AC,可以得到∠C= .依据是 . 2.如图,直线AB∥CD,直线EF分别交AB于点E,交CD于点F,直线∠AEF=90°,求∠DFE的度数,由此你能得到直线EF与直线CD有怎样的位置关系? 3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=71°.试求∠D的度数. 【教学说明】教师给出习题,学生独立自主完成,教师巡视,对解题过程中出现的问题及时予以指正,对有困难的学生进行点拨. 【答案】1.(1)∠B,两直线平行,同位角相等. (2)∠EDF,两直线平行,内错角相等. (3)∠DEC,两直线平行,同旁内角互补. (4)∠EDF,两直线平行,内错角相等. (5)∠DFB,两直线平行,同位角相等. 2.∵AB∥CD ∴∠DFE=∠AEF=90°(两直线平行,内错角相等)
∴EF⊥CD. 3.∵AD∥BC ∴∠C+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠D=180°-∠C=180°-71°=109°. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾平行线的性质定理,加深对所学新知识的理解和运用. 完成练习册中本课时 练习. 从探究平行线的性质,到运用平行线的性质解决问题,再到平行线性质和判定的综合运用,学生积极主动探究,体验运用知识解决问题的成就感,增强学好数学的信心.对于平行线的性质与判定的综合运用,后面还要加强训练,从而提高学生的解题能力. 10.4 平移 【知识与技能】 1.了解平移的概念,认识平移的特征. 2.掌握平移的性质. 3.能按要求画出平移后的图形. 【过程与方法】 通过探索平移的性质的过程,发展学生的观察能力和抽象概括能力. 【情感态度】 引导学生积极参与到数学活动过程中,发展学生空间观念,增强学生的审美意识. 【教学重点】 掌握图形平移的性质. 【教学难点】 解决简单的平移问题. 一、情境导入,初步认识 问题:如图,传送带上的货物,随着传送带的运动,从一处被移动到另一处;
吊车上的物体,随着吊车的运动被上下(或左右)移动,这些都反映生活中,物体沿着某一方向平行移动的现象.你还能举出这样的例子吗? 【教学说明】教师提出问题,学生列举生活中的例子,感受平移现象,进一步体会数学与生活的密切联系. 二、思考探究,获取新知 操作:1.如图(1),在一张硬纸上剪下一个四边形. 2.如图(2),用剪得的四边形纸片,先在纸上画出四边形ABCD,再把直尺靠紧边DC,将四边形纸片沿着直尺移动到另一位置,画出纸片移动后的四边形A′B′C′D′. 思考:如图(3),连接AA′,BB′,CC′,DD′,这些线段的位置、大小分别有怎样的关系? 【教学说明】教师提出问题,学生先动手实际操作,再思考图(3)中这些线段的位置和大小关系,然后相互交流,最后共同归纳平移的概念和性质. 【归纳结论】在平面内,一个图形沿某个方向移动一定的距离,这种图形的变换叫做平移.平移时,原图形上的所有点都沿同一个方向移动相同的距离.原图形上一点A平移后成为点A′,这样的两点叫做对应点. 一个图形和它经过平移后得到的图形中,连接各组对应点的线段互相平行(或在同一条直线上)且相等. 平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小. 三、典例精析,掌握新知 例1 如图,有一条小船,若把小船平移,使点A平移到点B,请在图中画出平移后的小船. 【解】 如图. 例2 如图,△ABC沿BC的方向平移到△DEF的位置. (1)若∠B=60°,∠F=75°.求∠1、∠2的度数. (2)若AB=4cm,AC=5cm,BC=6cm,EC=3.5cm,求DE、DF、CF的长. 【解】 (1)由平移的性质可知:∠1=∠B=60°,∠2=∠F=75°. (2)由平移的性质可知:DE=AB=4cmDF=AC=5cm,CF=BE=BC-EC=2.5cm. 例3 如图,一块边长是8cm的白色正方形手帕,上面横竖各有两道黑条,黑条的宽都是1cm,求图中白色部分的面积. 【解】 可将横竖两道黑条平移到一侧去,如图故图中白色部分的面积为:(8-2)×(8-2)=36(cm2). 【教学说明】教师给出例题,学生独立自主完成,教师可选几个同学上台展示自己的答案,交流各自的心得,积累解决问题的经验和方法. 四、运用新知,深化理解 1.如图,四组图形中,其中一个图形能由另一个图形经过平移得到的是( )
2.下列关于平移性质的叙述不正确的是() A.平移前后图形的形状与大小都没有变化. B.平移后的图形与原图形上对应点连线平行或在同一直线上. C.线段的中点经过平移之后有可能不是平移后线段的中点. D.平移后的图形与原图形上对应点连接的线段必定相等. 3.将图中的六边形按箭头所指的方向平移2cm,作出平移后的图形. 4.在手工制作课上,小华和小丽用铁丝制作楼梯模型,如图所示,她们用的铁丝一样长吗? 5.如图,将直角三角形ABC沿CB方向平移BE的距离后得到直角三角形DEF,已知AG=2,BE=4,DE=6,求阴影部分的面积. 【教学说明】教师给出习题,学生独立自主完成,教师巡视,对解题过程中出现的问题及时予以指正,对有困难的学生进行点拨. 【答案】 1.D 2.C 3.如图所示:
4.她们用的铁丝一样长,都等于长为8cm,宽为5cm的长方形的周长. 5.∵△DEF是△ABC经过平移后得到的. ∴S△DEF=S△ABC∴S△ABC-S△FGB=S△DEF-S△FGB.即S阴影 =S四边形BEDG= (BG+DE)·BE= ×(6-2+6)×4=20. 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识?还有哪些疑问?请与同伴交流. 【教学说明】学生相互交流,回顾平移的概念及性质,加深对所学新知识的理解和运用. 完成练习册中本课时练习. 从生活中的平移现象到探究平移的性质,再到运用平移的性质解决问题,学生积极主动参与探究,在合作交流与实际操作中体验成功的喜悦,增强学好数学的信心. 章末复习 【知识与技能】 进一步加深对相交线、平行线等概念的理解,掌握对顶角、垂线、平移的性质,能运用平行线的性质与判定进行简单的推理论证. 【过程与方法】 通过梳理本章知识,回顾解决问题中的转化思想,培养学生观察、分析、归纳、概括、抽象、推理能力,加深对本章 知识的理解和应用. 【情感态度】 在运用相交线,平行线的有关知识解决问题的过程中,进一步体会数学的严密性和逻辑性,增强学生的数学应用意识,激发学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 对顶角、垂线、平移的性质及平行线的性质和判定的运用. 【教学难点】 平行线性质和判定的综合运用. 一、情境导入,初步认识 【教学说明】引得学生回顾本章 知识点,展示本章 知识结构框图,使学生系统地了解本章 知识及它们之间的关系.教学时,边回顾边建立知识结构框图. 二、释疑解惑,加深理解 1.相交线、平行线 同一平面内两条直线的位置关系只有两种:相交或平行,当两条直线有交点时,这两条直线相交;
当两条直线没有交点时,这两条直线就互相平等,这两条直线叫做平行线。

在两条直线相交所成的4个角中,如果有一个角是直角,这两条直线就互相垂直,垂直是相交的一种特殊情况. 2.垂直公理、垂线的性质及点到直线的距离 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. 连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 3.平行公理及其推论 经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线. 如果两条直线和第三条直线平行,那么这两条直线平行,即若a∥c,b∥c,则a∥b. 4.同位角、内错角,同旁内角 5.平行线的判定与性质 平行线的判定定理:
同位角相等,两直线平行. 内错角相等,两直线平行. 同旁内角互补,两直线平行. 平行线的性质定理:
两直线平行,同位角相等. 两直线平行,内错角相等. 两直线平行,同旁内角互补. 6.平移 在平面内,一个图形沿某个方向移动一定的距离,这种图形的变换叫做平移,平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小. 一个图形和它经过平移后得到的图形中,连接各组对应点的线段互相平行(或在同一条直线上)且相等. 三、 典例精析,复习新知 例1 如图,直线AB,CD相交于点O则∠AOC的度数是( )
A.60° B.40° C.30° D.15° 【分析】由对顶角相等可得2x=x+30°,解得x=30°.∴∠AOC=2x=60°,故选A. 例2 如图,直线AB与直线CD相交于点O,E是∠AOD内一点,已知OE⊥AB,∠BOD=45°,则∠COE的度数是( )
A.125° B.135° C.145° D.155° 【分析】由OE⊥AB得∠AOE=90°,又∠AOC=∠BOD=45°.∴∠COE=∠AOE+∠AOC=135°,故选B. 例3 如图,边长为3cm的正方形ABCD沿BA方向平移2cm,则C1D= ,BA1= . 【分析】由平移的距离是2cm,可知CC1=2cm.∴C1D=CD-CC1=3-2=1cm,DD1=C1D1-C1D=3-1=2cm.∴CD1=CD+DD1=3+2=5cm.∴BA1=CD1=5cm,故C1D=1cm,BA1=5cm. 例4 如图,AB∥CD,∠DFE=130°,则∠ABE=. 【分析】 ∵∠DFE=130°. ∴∠CFE=50°. 由AB∥CD,可得∠ABE=∠CFE=50°,故∠ABE=50°. 例5 如图:(1)∠1与∠4是什么角?是哪两条直线被哪条直线所截而得到的? (2)∠2与∠3是什么角?是哪两条直线被哪条直线所截而得到的? (3)∠2与∠5是什么角?是哪两条直线被哪条直线所截而得到的? 【解】(1)∠1与∠4是同位角,是直线AD、BD被直线AB所截而得到的.(2)∠2与∠3是内错角,是直线AD、BD被直线AC所截而得到. (3)∠2与∠5是同旁内角,是直线AC、BD被直线AD所截而得到的. 例6 已知,如图所示,CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°,试说明DA⊥AB. 【解】∵CE平分∠BCD,DE平分∠ADC(已知), ∴∠BCD=2∠2,∠ADC=2∠1(角平分线的定义). ∵∠1+∠2=90°(已知), ∴∠BCD+∠ADC=2∠2+2∠1=180°(等量代换), ∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行). 又∵CB⊥AB(已知),即∠B=90°, ∴∠A=∠B=90°(两直线平行,同旁内角互补), ∴DA⊥AB(垂直的定义). 例7 如图,已知AB∥DE,∠ABC=80°,∠CDE=140°,求∠BCD. 【解】过点C作CF∥AB. ∵AB∥DE,CF∥AB, ∴CF∥DE. ∴∠BCF=∠ABC=80°. 又∵∠DCF+∠CDE=180°, ∠CDE=140° ∴∠DCF=40°. ∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=40°. 【教学说明】教师可适当进行评价,强调应用各知识需要注意的问题,培养学生综合运用所学知识的能力,对于例题可适当增减. 四、复习训练,巩固提高 1.如图,直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB于O则图中∠1与∠2的关系是( )
A.是对顶角 B.互补的两个角 C.互余的两个角 D.相等的角 第1题图 第2题图 2.如图,下列说法错误的是( )
A.∠1与∠3是同位角 B.∠2与∠3是内错角 C.∠1与∠4是内错角 D.∠4与∠3是同旁内角 3.如图,下列推理正确的有( )
①若∠1+∠2=180°,则l1∥l2 ②若∠3=∠4,则∠1+∠2=180° ③若∠1=∠2,则∠3=∠4 ④若∠3+∠5=180°,则∠1+∠2=180° A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 第3题图 第4题图 4.如图,面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置,平移的距离是边BC长的2倍,则图中四边形ABFD的面积为 . 5.如图,AB∥CD,AE平分∠BAD.CD与AE相交于F,∠CFE=∠E.求证:AD∥BC. 第5题图 第6题图 6.如图,GD⊥AC,∠AFE=∠ABC,∠1+∠2=180°,BE与AC是否垂直?请说明理由. 【教学说明】通过训练,加深学生对本章 知识的理解,进一步提高学生综合运用所学知识的能力.学生自主探究,教师对有困难的学生进行适当点拨. 【答案】1.C 2.C 3.B 4.60cm2 5.∵AB∥CD ∴∠CFE=∠1 ∵∠CFE=∠E ∴∠1=∠E 又∵AE平分∠BAD ∴∠1=∠2 ∴∠2=∠E ∴AD∥BC 6.∵GD⊥AC ∴∠ADG=90° ∵∠AFE=∠ABC ∴EF∥BC ∴∠1=∠EBG 又∠1+∠2=180° ∴∠EBG+∠2=180° ∴DG∥BE ∴∠AEB=∠ADG=90° ∴BE⊥AC. 五、师生互动,课堂小结 1. 通过这节课的学习,你对本章 知识有哪些新的认识?有何体会?请与同伴交流. 2.通过本章 知识的学习,你掌握了哪些数学思想方法?说说看. 【教学说明】学生回顾本章 知识,积极与同伴交流,积累解决问题的经验和方法. 完成练习册中本课时练习. 通过知识框图的呈现,让学生更好的回顾本章 的知识点,进行知识的梳理.通过例题的讲解与习题的训练,进一步提高学生分析问题、解决问题的能力,激发学生学习数学的兴趣.