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高考数学(理)考点一遍过考点51,古典概型-之

时间:2021-04-29 10:11:51 浏览次数:

(1)理解古典概型及其概率计算公式. (2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 一、基本事件 在一次试验中,可能出现的每一个基本结果叫做基本事件. 基本事件有如下特点:
(1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 二、古典概型的概念及特点 把具有特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
②每个基本事件出现的可能性相等的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. 三、古典概型的概率计算公式 . 四、必记结论 (1)古典概型中的基本事件都是互斥的. (2)在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时,易忽视它们是否是等可能的. 考向一 古典概型的概率求解 1.求古典概型的基本步骤:
(1)算出所有基本事件的个数n. (2)求出事件A包含的所有基本事件数m. (3)代入公式,求出P(A). 2.求解古典概型的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,这就需要正确列出基本事件. 基本事件的表示方法有列举法、列表法、树状图法和计数原理法,具体应用时可根据需要灵活选择. 3.对于求较复杂事件的古典概型的概率问题,可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和,或者先求对立事件的概率,再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率. 4.解决与古典概型交汇命题的问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算. 典例1 一个三位数,个位、十位、百位上的数字依次为,当且仅当时,称这样的数为“凸数”(如243),现从集合中取出三个不相同的数组成一个三位数,则这个三位数是“凸数”的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为从集合中取出三个不相同的数共有个, 由题意知,凸数有132,231,143,341,243,342,342,243,共8个, 所以这个三位数是“凸数”的概率为.选B. 典例2 某校高一、高二、高三分别有400人、350人、350人.为调査该校学生的学习情况,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本.已知从高一的同学中抽取8人. (1)求样本容量的值和从高二抽取的人数;

学#@ (2)若从高二抽取的同学中选出2人参加某活动,已知高二被抽取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选中的概率. 1.从甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加志愿活动,则甲被选中的概率为 A. B. C. D. 2.中国农业银行已经开始为遍布全国大江南北的农行ATM机安装“刷脸取款”系统.某农行营业点为了解居民对刷脸取款知识的了解情况,制作了刷脸取款知识有奖问卷,从2017年度该行的客户(年龄在[25,55]内)中随机抽取100人填写调查问卷,按年龄分成6组,频数分布表如下(其中x∶y∶z=2∶4∶5),其中女客户年龄的茎叶图如图: 年龄/岁 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55] 频数 5 x y z 15 25 (1)求x,y,z的值,若从抽取的男客户中随机选取1人,估计这个人的年龄恰在[45,50)内的概率; (2)若从年龄在[30,40)内的男客户中按照分层抽样的方法抽取6人进行满意度调查,再从中选取2人做进一步调查,求选取的2人的年龄均在[35,40)内的概率. 考向二 用随机模拟估计概率 用随机模拟估计概率的关键是用相应的整数表示试验的结果,然后按实际需要将所得的随机数分为若干个一组(比如试验要求随机抽取三个球就三个数据一组),明晰所求事件的特点后去找符合要求的数据组,即可求解概率. 典例3 已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率.先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示命中靶心,4,5,6,7,8,9表示未命中靶心,再以每三个随机数为一组,代表三次打靶的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数: 321 421 191 925 271 932 800 478 589 663 531 297 396 021 546 388 230 113 507 965 据此估计,小李三次打靶恰有两次命中的概率为 A.0.25 B.0.30 C.0.35 D.0.40 【答案】B 【解析】由题意知,在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有421,191,271,932,800,531, 共6组随机数, 所以所求概率为=0.30,故选B. 3.若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组如下的随机数: 7327  0293  7140  9857  0347  4373  8636  6947  1417  4698 0371  6233  2616  8045  6011  3661  9597  7424  7610  4281 根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为__________. 1.甲、乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为 A. B. C. D. 2.现有2个正方体,3个三棱柱,4个球和1个圆台,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为 A. B. C. D. 3.从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,则这两个数都是奇数的概率是 A. B. C. D. 4.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中;
5,6,7,8,9,0表示不命中;
再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:
137  966  191  925  271  932  812  458  569  683 431  257  393  027  556  488  730  113  537  989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A.0.40 B.0.30 C.0.35 D.0.25 5.某商场对某一商品搞活动,已知该商品的进价为3元/个,售价为8元/个,每天销售的第20个及之后的商品按半价出售,该商场统计了近10天这种商品的销售量,如图所示,则从这10天中随机抽取一天,其日利润不少于96元的概率为 A. B. C. D. 6.某车间共有6名工人,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.从该车间6名工人中,任取2名,则至少有1名优秀工人的概率为 A. B. C. D. 7.运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为,从集合中任取一个元素,则函数是增函数的概率为 A. B. C. D. 8.用三种不同的颜色给如图所示的两个矩形随机涂色,若每个矩形只涂一种颜色,那么这两个矩形颜色相同的概率是___________.  9.某单位要在5名工人中安排2名分别到两地出差(每人被安排是等可能的),则甲、乙两人中恰巧有一人被安排的概率为___________.  10.已知集合A={-2,3,5,7},从A中随机抽取两个不同的元素a,b,作为复数z=a+bi(i为虚数单位)的实部和虚部.则复数z在复平面内的对应点位于第一象限的概率为___________.  11.某中学有一调查小组为了解假期期间本校学生白天在家的时间情况,从全校学生中抽取120人,统计他们平均每天在家的时间(在家时间超过4小时的就认为具有“宅”属性,否则就认为不具有“宅”属性). 具有“宅”属性 不具有“宅”属性 男生 20 50 女生 10 40 采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个6人的样本,若从这6人中随机选取3人做进一步的调查,则选取的3人中至少有1名女生的概率为___________. 12.有编号为的10个零件,测量其直径(单位:),得到下面数据: 编号 直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47 其中直径在区间内的零件为一等品. (1)从上述10个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (2)从一等品零件中,随机抽取2个. (i)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这个零件直径相等的概率. 13.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2 和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2 和2个白球b1,b2 的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖. (1)用球的标号列出所有可能的摸出结果; (2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为这种说法正确吗?请说明理由. 14.某科研单位积极推进科学创新,在解决某一技术难题的过程中,需要组建在结构设计和系统程序两方面强的人才小队,相关研究小组所有人员分别进行结构设计和系统程序两项综合考核,构成的频率分布直方图如图所示,单项综合成绩在[90,100]内的评为“优A”,且结构设计综合成绩在[80,90)内的人员有10人. (1)求系统程序综合成绩为“优A”的人数; (2)在两项综合考核中,恰有2人的两项综合考核成绩均为“优A”,在至少一项成绩为“优A”的人员中,随机抽取2人进行组队(项目负责人),求这2人的两项综合成绩均为“优A”的概率. 15.某市为了了解高三学生的身体综合素质,从甲、乙两所学校(两所学校的高三学生人数均按365计算)各抽取20名学生的数据作为样本,将综合素质分进行统计,如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).总分在35分以下(不包括35分)的为需要加强训练的学生;35~75分之间的为需要提高训练的学生;75分以上(不包括75分)的为运动健儿. (1)以这20名学生的身体综合素质分来估计全校365名高三学生的身体状况,则甲、乙两所学校中分别约有多少名需要加强训练和需要提高训练的高三学生? (2)从两所学校共抽取的40名高三学生中综合素质分在[60,80]内的学生中随机抽取2名,求抽取的2名高三学生均为运动健儿的概率. 16.甲,乙两台机床同时生产一种零件,其质量按测试指标划分:指标大于或等于100为优品,大于等于90且小于100为合格品,小于90为次品,现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测,检测结果统计如下:
测试指标 机床甲 8 12 40 32 8 机床乙 7 18 40 29 6 (1)试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率;

(2)甲机床生产一件零件,若是优品可盈利160元,合格品可盈利100元,次品则亏损20元.假设甲机床某天生产50件零件,请估计甲机床该天的日利润(单位:元);

(3)从甲、乙机床生产的零件指标在内的零件中,采用分层抽样的方法抽取5件,从这5件中任选2件进行质量分析,求这2件都是乙机床生产的概率. 17.中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介,利用网络平台对年龄(单位:岁)在[20,60]内的人群进行了调查,并从参与调查者中随机选出600人,把这600人分为对新能源汽车比较关注和不太关注两类,并制成如下表格: 年龄 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 性别 男性 女性 男性 女性 男性 女性 男性 女性 人数 40 10 120 70 160 100 80 20 比较关注所占比例 20% 50% 60% 70% 70% 80% 60% 80% (1)填写列联表,并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车的关注有关; 比较关注 不太关注 总计 男性 女性 总计 (2)为了进一步了解不同性别的消费者对新能源汽车的关注情况,采用分层抽样的方法从这600人中选出6人进行访谈,最后从这6人中随机选出2名参与电视直播节目,求其中恰好有一名女性参与电视直播节目的概率. 附: P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2=,其中n=a+b+c+d. 1.(2018新课标全国Ⅱ理科)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 A. B. C. D. 2.(2017山东理科)从分别标有,,,的张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A. B. C. D. 3.(2018江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 ▲ . 变式拓展 1.【答案】B 2.【解析】(1)由频数分布表知,x+y+z=100-45=55. 学#¥ 因为x∶y∶z=2∶4∶5, 所以x=×55=10,y=×55=20,z=×55=25. 由茎叶图可知年龄在[25,30)内的女客户有2人,年龄在[30,35)内的女客户有4人,年龄在[35,40)内的女客户有8人,年龄在[40,45)内的女客户有10人,年龄在[45,50)内的女客户有6人,年龄在[50,55]内的女客户有10人, 个, 记事件M为“选取的2人的年龄均在[35,40)内”, 则事件M包含的结果有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个, 故P(M)=. 即选取的2人的年龄均在[35,40)内的概率为. 3.【答案】 【解析】由随机数表可知,共有20个随机事件, 其中该运动员射击4次至少击中3次有:9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共有7个随机事件, 因此估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为. 考点冲关 1.【答案】A 【解析】甲、乙两人参加三个不同的学习小组共包含个基本事件, 其中两人参加同一个小组包含个基本事件, 则所求概率为.故选A. 学¥% 4.【答案】B 【解析】由题意,得在20组模拟数据中,表示该运动员三次投篮恰有两次命中的数据有137、191、271、932、812、393,共6个数据, 则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.故选B. 5.【答案】A 【解析】由题意得当日销售量不少于20个时,日利润不少于96元,其中当日销售量为20个时,日利润为96元,当日销售量为21个时,日利润为97元. 从条形统计图可以看出,日销售量为20个的有3天,日销售量为21个的有2天, 故从这10天中随机抽取一天,其日利润不少于96元的概率为. 6.【答案】C 【解析】依题意,平均数=22,故只有2名优秀工人, 从中任取2名共有=15(种)情况, 其中至少有1名优秀工人的情况有-=9(种), 故至少有1名优秀工人的概率为P=. 7.【答案】C 【解析】该程序的运行过程如下:x=-3,输出,输出,输出,输出,输出,输出,输出y=15,程序结束, 故A={3,0,-1,8,15}, 其中有3个元素可使得函数是增函数, 故所求概率为. 10.【答案】 【解析】从集合A={-2,3,5,7}中随机抽取两个不同的元素a,b, 组成复平面内的对应点有(-2,3),(-2,5),(-2,7),(3,-2),(3,5),(3,7),(5,-2),(5,3),(5,7),(7,-2),(7,3),(7,5),共12种, 其中位于第一象限的点有(3,5),(3,7),(5,3),(5,7),(7,3),(7,5),共6种. 所以复数z在复平面内的对应点位于第一象限的概率为P=.故填. 11.【答案】 【解析】记事件M为“选取的3人中至少有1名女生”,则事件为“选取的3人都是男生”. 采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个6人的样本,其中男生有4人,编号分别为a,b,c,d,女生有2人,编号分别为A,B. 从6人中随机选取3人的基本事件有{a,b,c},{a,b,d},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,d},{a,c,A},{a,c,B},{a,d,A}, {a,d,B},{a,A,B},{b,c,d},{b,c,A},{b,c,B},{b,d,A},{b,d,B},{b,A,B},{c,d,A},{c,d,B},{c,A,B},{d,A,B},共20个. 事件所含的基本事件分别为{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},共4个, 所以事件的概率为P()=, 所以事件M的概率为P(M)=1-P()=1-. 12.【解析】(1)由所给数据可知,一等品零件共有6个. 设“从10个零件中,随机抽取一个为一等品”为事件,则. (2) (i)一等品零件的编号为,从这6个一等品零件随机抽取2个,所有可能的结果有: ,,,共有15种. (ii)“从一等品零件中,随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件)的所有可能结果有: ,共有6种. 所以. 学#¥ 13.【解析】(1)所有可能的摸出结果是:{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2 },{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2 },{B,a1}, 14.【解析】(1)该单位相关研究小组所有人员的人数为10÷0.25=40. 则系统程序综合成绩为“优A”的人数为40×(1-0.0025×10-0.015×10-0.0375×10×2)=40×0.075=3. (2)结构设计、系统程序综合成绩为“优A”的各有3人,其中有2人的两项综合成绩为“优A”,所以还有2人只有一项综合成绩为“优A”. 设这4人为甲、乙、丙、丁,其中甲、乙的两项综合成绩均为“优A”,则在至少一项综合成绩为“优A”的人员中,随机抽取2人进行组队(项目负责人),其基本事件为{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁}, {丙,丁},共6个, 设“随机抽取2人,这2人的两项综合成绩均为‘优A’”为事件M, 则事件M包含的基本事件为{甲,乙},共1个, 故P(M)=. 15.【解析】(1)从甲、乙两所学校中各抽取的20名高三学生的身体综合素质分中可得,甲学校有15名需要 16.【解析】(1)因为甲机床为优品的频率为, 乙机床为优品的频率为, 所以估计甲、乙两机床为优品的概率分别为. (2)甲机床生产一件零件的平均利润为元, 所以估计甲机床每生产一件零件的利润为114.4元, 所以甲机床某天生产50件零件的利润为元. (3)由题意知,甲机床应抽取,乙机床应抽取, 记甲机床的2个零件为,乙机床的3个零件为, 若从5件中选取2件,有,共10种取法, 这2件都是乙机床生产的共有3种,分别为, 所以,这2件都是乙机床生产的概率. 学! 17.【解析】(1)由题意知,这600人中男性的人数为40+120+160+80=400,女性的人数为600-400=200,男性 即恰好有一名女性参与电视直播节目的概率为. 直通高考 1.【答案】C 【解析】不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个, 随机选取两个不同的数,共有种方法, 因为,所以随机选取两个不同的数,其和等于30的有3种方法, 故所求概率为,选C. 【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法:
(1)列举法. (2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法. (3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 2.【答案】C 【名师点睛】概率问题的考查,侧重于对古典概型和对立事件的概率考查,属于简单题. 3.【答案】 【解析】从5名学生中抽取2名学生,共有10种方法, 其中恰好选中2名女生的方法有3种, 因此所求概率为.